高三数学第一次模拟试题（文科）
总分１５０分
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1．已知集合U=R，集合
= （A ）
A 
B 
C 
D 
2．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为
，且sin+cos=0，则a,b满足（ C ）
A．
B．
C．
D． 
3．某医院要在20天内接待8所学校的学生体检，每天只安排一所学校，其中有一所人数较多的学校要连续体检3天，其余学校均只需一天，则在这20天内不同的安排方法为（B ）
A. 
种
B. 
种
C. 
种
D 
种
4. 设等比数列
的前n项和为Sn，若
，则
（ C
）
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
5．有关命题的说法错误的是 ( D )
命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.
“”是“”的充分不必要条件.
对于命题
：存在
使得
. 则
：对任意 均有
若
为假命题，则
、
均为假命题.
6．在正方体
中，E为正方形ABCD的中心，F为CC1的中点，则EF与AB所成角的正切值为（ C ）
A．2 B．3
C．
D．
7. 奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为 （ D ）
8. 将函数
的图象按向量
平移后所得图象的解析式是（D）
(A) 
(B)
(C) 
(D) 
9. 已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
和
.若
是
的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率是
（ A
）
A．
B．
C．
D．
10.设数列
的前n项和为
，令
，称
为数列
，
，……，
的“理想数”，已知数列，，……，
的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为
（ A
）
(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
11. 设
，则
的值为 1
12．在条件
下，则
的最大值是 3 .
13．已知
是R上的增函数，如果点A（－1，1）、B（1，3）在它的图象上，
是它的反函数，那么不等式
的解集为 .
14.给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，
、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是⊥α，m⊥β，且∥m；②对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；③已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P的逆否命题是假命题；④已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是__①②④____. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知向量
，
.
（Ⅰ）当
⊥
时，求＋的值；
（Ⅱ）求函数＝·（－）的值域.
（Ⅰ）
； （Ⅱ）
.
16．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ) 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；
(Ⅱ) 抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.
解：（I）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则
（II）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意
（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为 
所以 
.
17.设
是正数组成的数列，其前n项和为
，且对于所有的正整数n，有
。
（Ⅰ）写出数列的前三项；（Ⅱ）求数列的通项公式，并写出推证过程；
（Ⅰ）由题意，当n = 1时，有
=
-2 ，
=
∴=
-2 ，解得
= 2
当n =2时，有
=
-2 ,
= +,
将= 2代入，整理得（-2）
=16，由＞0，解得= 6
当n = 3时，有
=
-2 ，
= ++，
将= 2，= 6代入，整理得（-2）= 64，由＞0，解得=10
所以该数列的前三项分别为2，6，10 …………………………………………3分
（Ⅱ）由=
-2（n∈
），
整理，得=
，
则
=
∴
=-=
整理，得
= 0
由题意知+≠0，∴-= 4
∴即数列{}为等差数列，其中首项= 2，公差d = 4 ……………………8分
∴= +（n-1）d = 2 + 4（ n – 1 ）
即通项公式为 = 
-2，n∈ …………………………………………10分
18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，DE//PA，PA=2DE=AB，F为PC的中点.
|
（2）求平面PCE与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）求点A到平面PEC的距离.
（1）证法一：取PA中点G′连接EG′、FG′、AC
易得EG′//AD，FG′//AC ………………2分
∴平面EFG′//平面ABCD ∴EF//平面ABCD …………4分
证法二：由条件知DC，DA，DE两两垂直，
∴以DC，DA，DE所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz
|
D（0，0，0），E（0，0，1），P（0，2，2）
∵F这PC的中点 ∴F（1，1，1）
∵
……2分
即
又∵
而ABCD 而EF
面ABCD
∴EF//面ABCD …………4分
（2）解法1 延长PE、AD交于G点，连接GC，
则平面PEC∩平面ABCD=GC
∵
∴GD=DA=DC ∴△ACG为直角三角形
∴GC⊥AC 而AC为PC在平面ABCD内的射影，GC
平面ABCD
∴由三垂线定理得GC⊥PC
∴∠PCA就是平面PEC与平面ABCD所成二面角的平面角 …………6分
在Rt△PCA中，
…………8分
解法2 设平面PEC的法向量
∴
∴
…………6分
又DE⊥平面ABCD， 即
是平面ABCD的法向量，且=（0，0，1）
=1，设平面PEC与平面ABCD的二面角为θ
则 
…………8分
（3）解法1 作AH⊥PC于H点
由EF//DB，AC⊥DB，PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，且AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC ∴EF⊥平面PAC 而AH平面PAC
∴AH⊥EF 又AH⊥PC EF∩PC=F ∴AH⊥平面PEC
即AH为点A到平面PEC的距离
故在Rt△PCA中有
…………12分
解法2 由（2）知平面PEC的法向量为n=（
）
且n=
∴A到平面的距离
…………
19．如图，
分别是椭圆
的左右焦点，M为椭圆上一点，
垂直于
轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过
且与OM垂直的直线交椭圆于P，Q.若
，求椭圆的方程.
解：(Ⅰ)由已知
，
(Ⅱ) 
椭圆的方程为
20．设函数
、
R）。
（1）若
，过两点（0，0）、（
，0）的中点作与轴垂直的直线，与函数
的图象交于点
，求证：函数在点P处的切线过点（
，0）。
（2）若
），且当
时
恒成立，求实数的取值范围。
解（1）由已知
…………1分
…………2分
所求，所求切线斜率为
…………3分
切线方程为
所以，函数y=f (x)过点P的切线过点（b,0） …………4分
（2）因为
，所以
，
…………5分
当
时，函数
上单调递增，在（
，）单调递减，
在
上单调递增. 所以，根据题意有
即
解之得
，结合，所以
…………8分
当
时，函数
单调递增。
…………9分
所以，根据题意有
…………10分
即
， 整理得
（
）
令
，
，所以“”不等式无解。…13分
综上可知：
。
…………14分