高三数学三月（理）专题测试一
新增内容部分
一选择题
1．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对
、
两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数
与残差平方和
如下表：（广东省韶关市高三摸底）
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
|
| 0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.85 |
|
| 106 | 115 | 124 | 103 |
则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（
）
甲
乙
丙 
丁
3．幂函数①
,②
及直线③
，
④
将直角坐标系第一象限分成八个“卦
限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如
图所示），那么幂函数
的图象在第一象
限中经过的“卦限”是（ ）
A．Ⅳ，Ⅶ B． Ⅳ，Ⅷ Ｃ．Ⅲ，Ⅷ D． Ⅲ，Ⅶ
4．如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ）
A．61cm
B．
cm
C．
cm
D．
cm
5．已知命题
，则
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．给出下面的程序框图，那么，输出的数是（ ）
A．2450 B. 2550 C. 5050 D. 4900
7．某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待时间小于10分钟的概率是（ ）
A 
B
C
D 
8. “所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故该奇数（S）是3的倍数（P）”。上述推理是（ ）
A小前提错误 B大前提错误 C结论错误 D正确的
二填空题
9．
.
10．我们知道：“过圆为
的圆外一点
作它的两条切线
、
，
其中
、
为切点，则
．”这个性质可以推广到所
有圆锥曲线，请你写出其中一个：
．
11．已知n次多项式Pn(x)=a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an ，如果在一种算法中，计算akx0k (k=2, 3, 4,…n)需要k次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要 次运算．（广州市顺德区）
下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0 , Pk+1(x)=xPk(x) + ak+1 (k=0, 1, 2,…n-1), 利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，那么计算Pn(x0)的值共需要 次运算．
12．根据以下三视图想象物体原形，可得原几何体的体积是 。
三解答题
13．在抛物线
上找一个点
其中
，过点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及连坐标轴所围平面图形的面积最小。
14． 某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的
，设该企业裁员x人后纯收益为y万元.
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）当140<a≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
15．已知向量
，规定
，且
函数
在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量
（1）求
的解析式；
（2）求的单调区间；
（3）是否存在正整数m，使得函数 
（
）在区间（m，m+1）内有且只有两个不同零点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
16．设F1, F2分别为椭圆
的左右两个交点.
(1) 若椭圆C上的点
到F1, F2两点的距离之和等于4, 写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)
设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
的中点的轨迹方程;
(3)
已知椭圆具有性质: M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点, 点P是椭圆上任意一点,当直线PM, PN的斜率都存在,并记为
,
时,那么与之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线
写出类似的性质,并给以证明.
高三数学三月（理）专题测试一
一选择题ADDA，DAAD
二填空题
9． 
10．①过抛物线
（
）外一点作抛物线的两条切线、（、为切点），若
为抛物线的焦点，则
．（如果学生写出的是抛物线的其它方程，只要正确就给满分）
②过椭圆
（
）外一点作椭圆的两条切线、（、为切点），若为椭圆的一个焦点，则．（如果学生写出的是椭圆的其它方程，只要正确就给满分）
③过双曲线
（
）外（两支之间）一点（不在渐近线上）作双曲线的两条切线、（、为切点），设为双曲线的一个焦点．⑴若、在同一支，则；⑵若、不在同一支，则
平分
的邻补角．（如果学生写出的是双曲线的其它方程，只要正确就给满分）
11． 
n(n+3)，2n 12．
三解答题
13．解：设过 点的切线方程为
，
由已知得
，该直线与
轴交点
，与
轴交点
=
=
利用导数可知当
时
最小
当取切点
是所求图形面积最小。
14． 解：（1）
…………2分
，故x的取值范围
…………4分
（2）
…………………………6分
当140＜a≤280时，
取最大值
当a为奇数时，
，y取最大值……………………10分
因尽可能少裁人
∴当a为偶数时，应裁员
，当a为奇数时，就裁员
……………12分
15．解：（1）由已知
…………………………………………………………………1 
………3′
…………………………………………………4′
（2）
由
＞0得，
上单调递增。
由＜0得，
上单调递减……………………8′
（3）函数
则
当
是单调减函数；
当
是单调增函数……………………11′
∴函数g（x）在区间
内分别 有唯一零点……………………13′
∴存在正整数m=1使得函数
在区间（1，2）上有且只有两个不相等的零点。
16．(1)椭圆C的方程为
,焦点坐标
.
(2)所求轨迹方程为
.
(3)类似的性质为: 若M,N是双曲线上关于原点对称的两个点, 点P是椭圆上任意一点,当直线PM, PN的斜率都存在,并记为,时,那么与之积是与点P位置无关的定值..
证明:设点M的坐标为
,则点N的坐标为
,其中
.
又设点P的坐标为
,
由 
得
,
将 
代入得
.