高三数学
第一学期期中试卷
命题：冯淑平 审核： 金建亚
考生注意：
1．答题前，考生务必用钢笔或圆珠笔清楚填写班级、姓名和学号。
2．本试卷共有22试题，答案直接写在试卷上。
3．本试卷共6页。考试时间120分钟。试卷满分150分。
一． 填空题（本大题满分48分）
1.判断“若
,则
.”为______命题.(填“真”，“假”)
2.已知f(x
)=lgx,则f(2)=_________.
3.方程9
-3
-4=0的解是______________.
4.在等差数列
中,a
+a
+a
+a
+a
=180,且a
=12,则a
=__________.
5.若数列
为等差数列，且数列前10项的和为10，则
______.
6.计算:
=_____________.
7.某单位安排7位工作人员在周一到周七值班，每人值班一天，其中甲和乙二人不安排在周一和周二，则不同的安排方法共有________种.(用数值表示)
8.为迎接2010年世博会召开,营造良好的生活环境,上海市政府致力于城市绿化,现有甲,乙,丙,丁4个工程队承包了5个不同的绿化工程,每个工程队至少承包1项工程,那么工程甲承包两项工程的概率是__________.
9.(理)在
的展开式中，系数大于－1的项共有_________项.
(文)设
,变量
满足
,则
的最小值为_________.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x
0时,f(x)=(
).设f(x)的反函数f
(x),则f(0)+f(8)=________.
11.已知集合A
=
,则A中各元素之和是_______。
12．对于实数
,用
表示不超过的最大整数,则函数f(x)=称为高斯函数或取整函数.若
,
为数列的前n项的和,
=___________.
二．选择题（本大题满分16分）
13.设集合S=
T=
,则S
T=( ).
(A)S
(B)T
(C)R
(D)
14．已知数列中,a=(－１)
(4n－3)，其前ｎ项的和为
，则
－
=( )
(A)-85 (B)85 (C)-65 (D)65
15．“
”是“函数f(x)=
,对任意x
,f(x)>0恒成立”的（ ）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
16.
已知函数f（x）=
，x
.给出下列命题:
① f(x)必是偶函数；②f(0)=f(2)时,f（x）的图像必关于直线x=1对称；
③若
,则f（x）在区间
上是增函数；④f（x）有最大值
.
其中正确的命题个数是______________.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
三.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分12分)已知函数
的定义域为
，且存在最小值2.
（1）求a的值。（2）令
，求函数
的最小值.
解:
18.(本题满分12分)设数列是等差数列，
，前n项和为，数列
是等比数列，
，其前n项和为
，已知
=16，
.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若
,求
的最大值及此时n的值.
解:
19.(本题满分14分) 已知集合A=
,B=
,若B
A,
求
的取值范围.
解:
20.(本题满分14分)已知函数f（x）=
,
g（x）=
,
(1)判断函数f（x）的奇偶性,求出f（x）的单调区间,并分别说明理由.
(2)分别计算
和
的值, 由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
解:
21.(本题满分16分)已知某企业的原有产品每年投入万元,可获得的年利润表示为函数
(万元).现准备开发一个回报率高,科技含量高的新产品从“十一五”计划（此计划历时5年）的第一年开始,用两年的时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发,从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入.经预测,新产品每年投入万元,可获得的年利润表示为函数
(万元).
(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1000万元,年利率为5.5
(不计复利),第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元?
(2)从新产品投入生产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使后三年的年利润最大?
(3)从新旧产品的五年最高总利润中拿出70来,能否还清对银行的欠款?
解:
22．(本题满分18分)设等比数列的公比为
，前n项和
0（n=1，2，3，…）.
设
，记的前n项和为
.
(1)求的取值范围.
(2)用和表示.
(3)试比较和的大小.
解:
高三数学第一学期期中试卷答案
1．
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5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13．
14. 15.
16.
17.解:⑴
, 由题意得 
,
得
.
⑵f(x)=x2-4x+6 ∴
当且仅当
取到最小值
18.解：⑴设{bn}公比为q，由题意得q<1且q≠0，∴
∴
即
，∴
设{an}公差为d，由得d=2，∴
⑵
∴n=3或4时，
有最大值12即Mn最大值为
.
19.解:由
得
即(x-3)(x+2)>0 ∴
当a=0时，
不满足
当a<0时，
或
不满足
当a>0时，
不满足
则
即
且
综上，a、b的取值范围为且
20.解：⑴函数f(x)的定义域为
，任取
∴
为奇函数
任取0<x1<x2，
∵
∴
∴在（0，+∞）上为单调递增
∵f(x)为奇函数 ∴f(x)在
上为单调递增。
⑵f(4)-5(f(2)·g(2)=0, f(9)-5f(3)·g(3)=0 ∴f(x2)-5f(x)·g(x)=0
证明：
，
∴
21.解：⑴1000+1000×5.5%×5=1275（万元）
⑵设从第三年起每年旧产品投入x万元，新产品投入100-x万元，则每年的年利润
.
所以投入旧产品27万元，投入新产品73万元时，每年可获最大利润659万元。
⑶因为P(x)在（0，30）上为增函数，所以前两年利润为
（万元）
后三年利润
（万元）
由(20+1977)×70%=1397.9>1275, 故能还清对银行的欠款.
22.解：⑴由题意得
.
当
时, 
当
时, 
即
得
①
或 
②
解①, n可为奇数亦可为偶数, 得
.
解②q>1
综上, q的取值范围为
⑵
故
.
⑶
.
∵
,
且
或
.
∴当
或
时, 
即
.
当
且
时, 
即
.
当
或
时, 
即
.