高三数学（理）第一学期期末考试

高三数学（理）第一学期期末考试

　 说明：本试题分第I卷和第II卷两部分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，填空题）

一.选择题（共12小题每小题5分，满分60分）

1. 条件“”, 条件“”，则是成立的　　　（ B ）

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　　 C．充要条件　　 D．非充分非必要条件

2. 已知平面向量，，且和共线，则实数的值等于( A )

A．－2或　　　　 　　　B．　　 　　　 C．2或－　　 　　　　　　D．－

3. 对于直线，和平面，，的一个充分条件是　　　　　　　　　　( C  )

A．，∥，∥　　 　　 　B．⊥，∩=，

C．∥，⊥， 　　　　　 D．∥，⊥，⊥

4．若函数同时具有以下两个性质：①是偶函数，②对任意实数，都有()= ()，则的解析式可以是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　（ C ）

　　　 A．　B．　C．　D．

5. 设函数满足 ()且, 则为　　　（ B ）

A．95　　　　　　　　　　　　　B．97　　　　　　　　　　　　　　　C．105　　　　　　　　 　D．192

6. 已知的顶点都在抛物线上，为抛物线的顶点，若直线过抛物线的焦点，则一定是　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　C ）

A．等腰三角形　　　　 B．直角三角形　　C．钝角三角形　 D．锐角三角形

7. 已知实数满足：，则的最大值为　　　　　  （ D　）

A．18　　　　　　　　　　 B．19　　　　　　　　　　　 C．20　　　　　　　　　　　D．21

8. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ D ）

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．1　　　　　　　　　　　　D．0

9．若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（ A ）

　　　 A．8或－2　　　　　　　 B．6或－4　　　　　　　 C．4或－6　　　　　　　 D．2或－8

10. 如图，点在边长为1的正方形边上运动，设点是边的中点，点沿®®®运动时，点经过的路程记为，的面积为，则函数的图象只可能是（ A ）.

11. 已知函数在点处连续，则=　　　 （ D  ）

A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 　D．

12. 设函数，若时, 恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ C　）

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

二.填空题（本大题有4个小题，每小题4分，共16分）

13.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则m=_________.

14．在等比数列中，已知，，那么　　　 。

15. 已知要使成立，则实数的取值范围是　m≥　　　 。

16. 已知函数.给出下列命题：①必是偶函数；②时，的图象必关于直线对称；③若，则在区间上是增函数；④有最小值.　　 其中正确命题的序号是 ③　　　.

三.解答题（本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤）.

17.（12分）已知.

17. 解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

即　　　  ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得　

　 故　　　　②

由①式和②式得 .

因此，，由两角和的正切公式

 

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得

解得

由

由于，

故在第二象限，于是.

从而

以下同解法一.

18．（12分）在正方体中，如图、分别是，的中点，

　 （1）求证：平面；

　 （2）求异面直线与所成的角．

18．(12分) 解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），

　　　 E（1，1，），F（0，，0），

　　　 则＝（0，，－1），＝（1，0，0），　　

　　　 ＝（0，1，），　则＝0，

　　　 ＝0， ，.　　

　　　 平面ADE.

（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），

　　　 ＝－1＋0－＝－，　　 ，，　　

则cos. .　　　　

19. 已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项.

　 （1）求数列与的通项公式；

　 （2）设数列满足对任意的，均有成立，求的值.

解：（1）由题意得，，解得.

又，，

在数列中，公比，，.

(2) 当时，；

　　当时，由，得.

　 故，

20．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记.

(1) 求的概率；　

(2) 求：前两次均出现正面，且的概率;

(3) 记，求的数学期望.

20.解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为

则

（2）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为。

 

(3)

,　　　　　　 ,

,　　,

21.已知，，

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若直线：与曲线交于、两端，,且有，试求的取值范围。

21.解：（1）

　　　　　　　

　　　　∵　　  ∴=0

　　　　∴　　 得

　　　　∴P点的轨迹方程为

（2）考虑方程组　 消去y，得(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0(*)

　显然1-3k²≠0　　　　 △=（6km）²-4(-3m²-3)=12(m²+1)-3k²>0

　　　设x₁,x₂为方程*的两根，则

　　　　　　　

　　 故AB中点M的坐标为(，)

∴线段AB的垂直平分线方程为：

将D(0，-1)坐标代入，化简得：4m=3k²-1

故m、k满足，消去k²得：m²-4m>0

解得：m<0或m>4

又∵4m=3k²-1>-1　　 ∴m>-　∴或

22．（本小题满分14分）

已知函数，的导函数是　

对任意两个不相等的正数，证明：

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当时，　

22．　 证明：（Ⅰ）由

 得

　　　　　　　　　　　 

　　　　　　

　　　　　　　 而　①

　　　　　　　 又

　　　　　　　∴　②

　　　　　　 ∵　 ∴

∵　∴　③

由①、②、③得

即

（Ⅱ）证法一：由，得

∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立

即证成立

∵

设，则

令得，列表如下：

		极小值

　　　 ∴

∴对任意两个不相等的正数，恒有

证法二：由，得

∴

∵是两个不相等的正数

∴

设，

则，列表：

		极小值

∴ 　即

∴

即对任意两个不相等的正数，恒有