高三数学(理)试卷3

高三数学(理)试卷3YCYYCY

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．若集合，集合，则下列各式中正确的是（　　）

A．M∪S=M　　　　 B．M∪S=S　　　　　　　C．M=S　　　　　　　 D．M∩S=

2．复数的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　　　D．

3．已知P、Q是以C为圆心，半径为的圆上两点，且则等于（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．—　　　　　　　　　 C．0　　　　　　　　　　　　D．

4．设l₁，l₂表示直线，表示平面，若有：①l₁⊥l₂；②l₁⊥；③l₂ ，则以其中两个

　 为条件，另一个为结论，可以构成的真命题的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

5．若函数的图像关于点对称，且在处函数

　 有最小值，则的一个可能的取值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．6　　　　　　　　　　　　D．9

6．已知a>0，b>0，a，b的等差中项为的最小值为（　　）

　　　 A．6　　　　　　　　　　　　B．5　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．3

7．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，

　 ∠BAC=90°，英才苑AB≠AC，D、E分别是BC、

　 AB的中点，AC>AD，PC与DE所成的角为

　，PD与平面ABC所成的角为，二面角

P—BC—A的平面角为，则，，的

大小关系是（　　）

　　　 A．<< 　　　　 B．< <　　　　

C．< < 　　　 D．<<

8．已知函数的图象是　　　　　　　 （　　）

　　　　

　　　　 A　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　  C　　　　　  D

9．已知实数x、y满足的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　D．

10．过点P（1，1）作曲线y=x³的两条切线l₁、l₂，设它们的夹角为θ，则tanθ的值为（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

11．已知点P是椭圆上的动点，F₁、F₂分别为左、右焦点，0为坐标原点，

则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　 D．

12．数列存在，则=

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．—　　　　　　　　 C．±　　　　　　　　D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中的横线上.

13．若则a₁+a₂+a₃+…+a₁₁的值为　　　  .

14．已知，英才苑观察下列运算：

当a₁·a₂……a_k=2008时，k=　　　　 .

15．将10个相同的小球装入编号为1、2、3的三个盒子中（每次要把10个小球装完），要求每个盒子里小球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法共有　　　　  种.（用数字作答）

16．给出下列四个命题：

　　　 ①动点M到两定点A、B的距离之比为常数则动点M的轨迹是圆；

　　　 ②椭圆，则b=c；

　　③双曲线的焦点到渐近线的距离是b；

　　　 ④已知抛物线y²=2px上两点A(x₁, y₁), B(x₂, y₂),且=0(O为原点)，则y­₁y­₂=—p².

　　  其中的真命题是　　　　   .（把你认为是真命题的序号都填上）

答案卷

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案

二、填空题：

13.　　　　　　  14.　　　　　　　 15.　　　　　　　  16.　　　　　　　

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知A，B是△ABC的两个内角.

　 （1）若A、B，求证tanAtanB>1；

　 （2）若A，B满足cosA=cos(2B—A)，求tan(B—A)tanB的值.

18．（本小题满分12分）

　 （理）某电讯公司的“电讯咨询热线”电话共有10部，经统计，在每天上午8点至12点这一时间段，同时打入电话的情况如下表：

同时打入的电话数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
概率p	0.13	0.35	0.27	0.14	0.08	0.02	0.01	0	0	0	0

　 （Ⅰ）若在上述时间段内，公司只安排2位接线员接听电话（一个接线员一次只能接听一部电话）.

　　　　  ①求至少一路电话不能被一次接通的概率；

②在一周的五个工作日中，若有三个工作日在这段时间内至少一路电话不能一次接通，则公司的形象将受到损害，现用“至少一路电话不能一次接通”的概率表示公司形象“损失度”，求在这种情况下公司形象的“损失度”.

　 （Ⅱ）求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数ζ的期望.

19．（本小题满分12分）

　　已知f(x)=x³—3x²—3mx+4（其中m为常数）有极大值为5.

　 （Ⅰ）求m的值；

　 （Ⅱ）求曲线y=f(x)过原点的切线方程.

20．（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成的角

为（0°<<90°），点B₁在底面ABC上的射影D恰好在BC上.

　 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

　 （Ⅱ）当为何值时，AB₁⊥BC₁，

且D恰好为BC的中点？

　 （Ⅲ）当=,AC=BC=AA₁时,

求二面角C₁—AB—C的大小.

21．（本小题满分12分）已知双曲线C：的离心率为，右焦点

为F，过点（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，并且.

　 （Ⅰ）求双曲线方程C；

　 （Ⅱ）过（I）中双曲线C的右焦点F，引直线交双曲线右支于P、Q两点，设P、Q两点在双曲线右准线的射影分别为点C、D，右准线与x轴交于E点，线段EF的中点为M，求证：P、M、D三点共线。

22．（本小题满分为14分）

　　已知数列{a_n}满足的前n项的和，a₂=1.

　 （Ⅰ）求S_n

　 （Ⅱ）证明：

数学（理）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	A	B	B	D	B	A	A	A	B	D	A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中的横线上.

13．2　　14．2²⁰⁰⁸—2　　15．15； 　 16．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（I）因为<A+B<π，

　　　　所以0<—B<A<,又y=tanx在(0, )上为增函数，……3分

　　　　故tan(—B)<tanA，

　　　　所以cotB<tanA，tanAtanB>1………………………………………6分

　 （Ⅱ）因为cos[B—(B—A)]=cos[B+(B—A)]，………………………3分

　　　　 所以(—1)cosBcos(B—A)=—1(1+)sinBsin(B—A),

　　　　 所以，tanBtan(B—A)= —2……………………………………6分

18．解:（I）①所求概率为0.14+0.08+0.02+0.01=0.25=.………………3分

②“损失度”为 ……………………………… 6分

（Ⅱ）∵在一天的这一时间内，电话同时打入数ξ的期望为

　　 Eξ=0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.08+5×0.02+6×0.01=1.79,……9分

　　 ∴一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数η的期望为

　　 Eη=E(5ξ)=5Eξ=5×1.79=8.95.………………………………………………12分

19．

　　

二次函数有极值的条件是=0必须有相异两实根.

　 （1）当△≤0时，即m≤—1时，函数f(x)无极值.

　 （2）当△>0时，即m>—1时，=0有相异两实根，设两根为α、β（α<β），

　　　　=3(x—α)(x—β)，其中

　　　　当x变化时，、f(x)的变化情况如下：

x	(—∞，α)	α	(α,β)	β	(β,+ ∞)
	+	0	—	0	+
f(x)	↑	极大	↓	极小	↑

　　　　

　 （2）曲线过点，………………8分

　　　　

20．（本小题满分12分）解法1（I）∵B₁D⊥面ABC，AC面ABC，∴B₁D⊥AC.

又∵AC⊥BC且BC∩B₁D=D，

则AC⊥面BB₁C₁C.…………………………………………………………4分

（II）∵AC⊥面BB₁C₁C，要使AB₁⊥BC₁，由三垂线定理可知，只须B₁C⊥BC₁，

∴平面四边形BB₁C₁C为菱形，此时BC=BB₁.

又∵B₁D⊥BC，要使D为BC中点，只须B₁C=B₁B，即△BB₁C为正三角形，

∴∠B₁BC=60°，∵B₁D⊥面ABC，且D落在BC上，

∴∠B₁BC为侧棱与底面所成的角，故当=60°时，AB₁⊥BC₁，且D为BC的中点.……………………………………………………………………8分

　 （Ⅲ）过C₁作C₁E⊥BC于E，则C₁E⊥面ABC，过E作EF⊥AB于F，连C₁F，由三垂线

　　　　 定理知C₁F⊥AB，∴∠C₁FE是二面角C₁—AB—C的平面角.…………10分

　　　　 设AC=BC=AA₁=a，在Rt△B₁BD中，BD=

　　　　 Rt△BEF中，∠EBF=45°，

　　　　

　　　　 Rt△CC₁F中，EF=B₁D=C₁E，

　　　　 ∴∠C₁FE=45°，

　　　　故所求二面角C₁—AB—C为45°.…………12分

解法2：（I）同解法1 .……………………………… 4分

　 （II）要使AB₁⊥BC₁，D为BC中点，只要使

　　　　

　　　　故△BB₁C为正三角形，∠B₁BC=60°.

　　　　又∵B₁D⊥面ABC，且D落在BC上，∴∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角，

　　　　故=60°时，AB₁⊥BC₁，且使D为BC的中点.…………………………8分

　

（Ⅲ）以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C点垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（a, 0,0），B，（0，a，0），C₁，

设平面ABC₁的一个法向量=（0，0，1）.

　　　　 设平面ABC₁的一个法向量为

　　　　

　　　　 故所成角为45°，即所求二面角为45°.……………………12分

21．解：（1）由已知：b²=2a²,c²=3a²……………………………………………　1分

　　直线AB方程为：y=x—1，代入得：x²+2x—1—2a²=0…………………… 2分

　　x₁+x₂=—2, x₁x₂=—2a²—1　　　y₁y₂=x₁x₂—(x₁+x₂)+1=—2a²+2……………3分

　　

　 （2）法一：可得焦点F（3，0），M（2，0），

故设直线为x=ty+3，代入

(2t²—1)y²+12ty+12=0,设P(x₃,y₃), Q(x₄, y₄)

则………………8分

要证P，M，D三点共线，只须证k_PM=k_DM即可

∴y₃+y₄=—ty₃y₄ ∴k_PM=k_DM　∴P，M，D三点共线……………………12分

法二

连接PD，设PD与x轴交于点N，

∴NF=EN ∴N是线段EF的中点，所以N，M重合，

∴P，M，D三点共线……………………………………………………12分

22．（1）由题意

　　　　两式相减得

　　　　所以

　　　　所以数列{a_n}是等差数列.…………………………………………2分

　　　　

　　　　又a₂=1，则公差为1，∴a_n=n—1，………………………………4分

　　　　所以数列{a_n}的前n项的和为，…………6分

　 （2）

　　　　①当n=1时：

②当n≥2时：

综上所证：…………………………………………14分