高三数学（理）试卷2
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准作用涂改液、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知三个不等式：
，（其中a，b，c，d均为实数）. 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知等差数列
中，若
，则这个数列的前9项的和S9等于 （ ）
A．66 B．99 C．144 D．297
3．设α是锐角，
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知点O满足
，则O为△ABC所在平面内一点，则点O一定为△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
5．若
是以3为周期的奇函数，且
，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知x，y满足
，则
的最小值是YC （ ）
A．0 B．
C．
D．2
7．已知
，则使
在
内取到极大值时x的值为（ ）
A．0 B．a C．0 D．－a
8．已知点A（0，－1）和点（4，11），又抛物线
上有一动点P，当抛物线在点P处的切线与直线AB平行时，点P的坐标是
（ ）
A．（6，9） B．（4，4） C．（2，1） D．（
）
9．在直二面角
中，直线
，直线
与l斜交，则YCY（ ）
A．a不能和b垂直，但可能a//b B．a可能和b垂直，也可能a//b
C．a不能和b垂直，a也不能和b平行 D．a不能和b平行，但可能a⊥b
10．如图甲四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，
，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD如图乙，则二面角A—DC—B的正切值（ ）
|
B． C．
D．
11．已知椭圆E的离心率为e，两个焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若
，则e的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
|
的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点P的集合在平面内的区域的形状是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本在题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设
，则
.
14．已知数列
中，
，则
.
15．已知点P为圆
上一动点，A（－2，0），B（2，0），点M为直线AP与线段PB的垂直平分线的交点，则点M的轨迹方程为
.
16．关于两条直线m，n以及两个平面α，β，给出下面命题：
①若m//n，m⊥α则，n⊥α ②若
，则
③若
④若
⑤若
⑥若
其中正确命题的序号都有 （请将所有正确命题的序号都添在横线上，答
错、少答或多答均不给分）
英才苑2006年高三名校试题汇编理（30）
一、选择题：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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二、填空：13 14 15 16
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知函数
YCY
（1）求它的周期和单调递增区间；（2）若
，求它的值域；
（3）若关于x的方程
在
有且只有一个解，求a的范围.
18．（本小题满分12分）等比数列
同时满足下列条件：①
，②
，
③三个数
依次成等差数列.
（1）求数列
的通项公式；（2）设Sn是数列的前n项和，证明
；
（3）记
，求数列
的前n项和Tn.
19．（本小题满分12分）某零售商以每个55元的价格进货了某商品2×104个，根据市场营
销经验，如果按照每个78元卖出，每天将会卖出200个，如果将定价在此价格上增加
元，其日销量就会少10k个；在此价格上降低
元，其日销量
就会多40k个. 同时该零售商每天要支出各项费用3240元，请问如何调整价格可使其销
售完该商品后赢得最大利润，最大利润为多少？
20．（本小题满分12分）已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4，高为6，点O是底面
|
（1）求证：面ROQ⊥面RBC；
（2）求直线PQ与底面ABCD所成的角；
（3）求异面直线PQ与BR所成的角.
21．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，F为椭圆
在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且
，定点A（－4，0）.
①求证：当
时
；
②若当
时有
，求椭圆C的方程；
③在②的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，试判断
是否
|
出理由.
22．（本小题满分14分）已知函数
①求证：当
时，恒有
；
②求证：当
时，恒有
；
③对任意正常数a，求当x在什么范围时，恒有
英才苑2006年高三名校试题汇编(理30）
参考答案与评分标准
一、选择题
1.D 2.B 3D 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.D
二、填空题：
13．
14．
15．
16． ①③⑤⑥
三、解答题：
17．（1）
；……………………2分
单调递增区间为每一个闭区间
………………4分
（2）
，
……………………………………………………8分
（3）
或
………………………………12分
18．（1）由
，得
或 
，
或 
，又
依次成等差数列，
舍，所以数列的通项公式为
.……………………………………4分
（2）由
，得
，
所以
=1
所以
………………………………………………8分
（3）因为
，所以
， ①
,
②
①—②得：
，所以
…………………………12分
19．解：当定价比78元增加k元时，利润为
…………………………2分
（当k=2时取等号）……5分
当定价比78元减少k元时，利润为
……………………7分
（当k=4时取等号）………10分
比较两种情况可得当售价定为74元时，可取得最大利润为
元………12分
20．（1）∵正四棱锥R—ABCD中Q是△RBC的重心，∴RQ⊥BC
又∵RO⊥底面ABCD，∴RO⊥BC，∵RO∩RQ=R，∴BC⊥平面ROQ
∴平面ROQ⊥平面RBC ………………………………………………4分
（2）延长RQ交BC于点M，由PQ与OM不平行且共面，所以它们必相交，
设RQ∩OM=N，则∠PNO为直线PQ与底面ABCD所成的角，
可求得
，即直线PQ与底面ABCD所成的角为
……8分
（3）在BC上取一点K，使
则
计算可得
，
由此可求得PQ与BR所成的角为
………………12分
21．（1）设
，则
，
当
时，
，
由M，N两点在椭圆上，
若
，则
舍，
……………………2分
（2）当时，不妨设
又
，
，椭圆C的方程为
………………………………5分
（3）
，
设直线MN的方程为
联立
，得
，
………………………………7分
记
，
则
，当
，即
时取等号 ……………………9分
并且当k=0时
，
当k不存在时
综上
有最大值，最大值为
此时MN的直线方程为
，或
，………………12分
22．（1）
，
，
当
时，
上为增函数. ………………2分
在
处连续，且
即
……5分
（2）当
时，
①，
要证
，即证
，
由①式
，所以原式成立. ………9分
（注：本问也可类似第3问的思路构造函数求导来证明）
（3）要使
恒成立，需
恒成立
记
，则
………11分
当
时
，当
时也有
，
且
在
处连续，所以
在
上为减函数
由
，所以只有当
时恒有
…14分