高三数学(理)试卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn（k）=
球的表面积公式S=4πR2（其中R表示球的半径）
球的体积公式：
（其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
|
，则集合M∩N= （ ）
A． B．{0} C．{1} D．{0，1}
2．已知不等式
的解集为
，则实数a （ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AC与BC1所成角的余弦
值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．复数
的虚部为 （ ）
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
5．过原点作曲线C：
（
为参数）的两条切线，则这两条切线的夹角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知
（ ）
A．0 B．
C．5 D．10
7．双曲线
的左右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被抛物线
的焦点分成5：3的两段，那么双曲线的离心率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知O为△ABC所在平面上的一点，满足
，且
=
，则三角形为 （ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．连续掷一枚骰子3次，三次点数之和为10的不同抛掷结果有 （ ）
A．27种 B．30种 C．33种 D．36种
10．将数列
按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27， 81，243），…，则第100组中各数之和为 （ ）A．
B．
C．
D．
11．已知地球半径为R，A地在北纬60°东经20°，B地在北纬30°西经70°，英才苑则A，B的球面距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
满足
，则
在区间[0，
]上的最大值和最小值之和为 （ ）
A．
B．
C．
D．－
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填题卡中的横线上.
13．已知
，则
=
.
14．已知
，
则
=
.
15．有一边长分别为8与5的长方形，在四个角各剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为 .
16．函数
，对任意
，有下列命题中正确的命题题号为
①
②
③
④
英才苑2006年高三名校试题汇编（59）(理)2006.5
二、填空：13 14 15 16
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.
17．（本小题满分12分）
|
（1）求证：EF⊥面BCD；
（2）求面CDE与面ABDE所成的二面角的正弦值.
18．（本小题满分12分）
已知O为坐标原点，英才苑
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）若
的定义域为
，值域为[2，5]，求a，b的值
19．（本小题满分12分）
数列
满足
，且
，
（1）求数列的通项公式；
（2）记
，求数列
的前n项的和.
20．（本小题满分12分）
有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2，乙箱中也有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2. 现从甲箱中取1张卡片，从乙箱中取2张卡片.
（1）求至少有两张卡片写有数字0的概率；
（2）设取出3张卡片数字之积为ξ，求ξ的分布列及数学期望.（用分数作答）
|
已知椭圆
，F1为其左
焦点，A为右顶点，l为左准线，过F1的直线
与椭圆交于异于A的P、Q两点.
（1）求
的取值范围；
（2）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求证：M，
N两点的纵坐标之积为定值.
22．（本小题满分14分）
设函数
，其图象在
处的切线的斜率分别为0，－a.
（1）求证：
；
（2）若函数的递增区间[s，t]，求s－t的取值范围.
（3）若当
时，（
是与a，b，c无关的常数），恒有
，试求的
最小值.
参考答案59
1—5：DDCBC 6—10：BCAAA 11—12：DB
|
17．解（1）取BC中点G，连结FG，AG
∵AE⊥面ABC，BD∥AE，∴BD⊥面ABC，
又AG
面ABC，∴BD⊥AG，
又AC=AB，G是BC中点，∴BC⊥AG，
∴AG⊥面BCD，………………3分
∵F是CD的中点且BD=2，∴FG∥BD
且FG=BD=1，
∴FG∥AE 又AE=1，∴AE=FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF∥AG
∴EF⊥面BCD ………………6分
（2）取AB的中点H，则H为C在面ABDE上的射影，过C作CK⊥DE于E，连接
KH，由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，∴∠HKC为二面C—DE—B的平面角，9分
易知EC=
，DE=，CD=2
，EF=，
由
，可得
，
Rt△CHK中，sin∠HKC=
∴面CDE与面ABDE所成的二面角的正弦值为
.…………………………12分
18．解：（1）
……………2分
时，由
得
的单调递增区间为
……………………4分
时，由
得
的单调递增区间为
………………6分
（2）
……………………7分
时，
，舍…………9分
………………11分
综上，a=－1，b=6…………………………12分
19．（1）由
得
……………………2分
…………………………4分
所以
是首项为
，公比q=2的等比数列，故
，
即
.……………………6分
（2）由得
，……………………8分
故
…………………………12分
20．解（1）
，………………4分，
（2）随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 4 |
| P |
|
|
|
|
………………………………………………10分
期望为
…………………………………………12分
21．解：（1）当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=－1，代入椭圆
得
……1分
当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为
代入椭圆得
………………2分
设
得
…………3分
………………5分
综上，的取值范围是（
………………6分
（2）AP的方程为
与l的方程：
联立得
……8分
同理，得
……………………9分
………11分
∴M，N两点的纵坐标之积为定值－9………………12分
22．解：（1）
由题意，得
……………………2分
又
得
由（1）得
，代入得
由得
………………2分
将
代入（2）得，
（3）
由（3）有实根，得
即
解得
或
…………4分
综上，………………5分
（2）由
的判别式
得
有两个不等实根，设为
又
知
是方程的根，
当
或
时，
；当
时
…………7分
∴函数的递增区间为
………9分
（3）由
，即
即
设
对恒成立 ………………11分
即 
得
或
………………13分
因此k的最小值为
.…………………………14分