高三年级第三次月考数学试题（理）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

高三年级第三次月考数学试题（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题均为单项选择题，请从A、B、C、D四个答案中选出你认为正确的一个填入答题卡中．

1．已知全集U={1, 2, 3, 4, 5},集合A, ,若,{2, 5}，则B=（　　）

　 　A．{2, 4, 5}　　　　　　　B．{2, 3, 5}　　　　　　C．{3, 4, 5}　　　　　　　 D．{2, 3, 4}

2．不等式的解集为，则函数的图象大致为（　 ）

　　　　  A　　　　　　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　　　　　 D

3．条件，条件，则p是q的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

　 　A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要不充分条件

　 　C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分又不必要条件

4．已知直线方程分别为l₁：，l₂：，它们在直角坐标系中的位置如图，则　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　

　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　

　　　 D．

5． 若函数内单调递减，则f（x）可以是　　　　　　　　 （　 ）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．

6．设平面向量

　 等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．

7．在数列中，已知，，，则　　　　　 （　　）

　 A．　　　　　　　　　　　 B．5　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．1

8．不等式 上恒成立，则实数a的取值范围是　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．（1，2　　　　　　　C．　　　　　　　 D．

9． 已知函数,则下列结论正确的是（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　D．

10．爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们（孙女与孙子人数不等）分糖果吃，爷爷分配方案如下：给每个孙女的糖果数等于他们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配糖果恰好分完。可实际分配时，奶奶记反了，她给每个孙女的糖果数等于他们孙女的人数，而给每个孙子的糖果数等于他们孙子的人数。请问：分配结果如何　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．刚好分完　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．不够分

　　　 C．分后有剩余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．上述三种情况均有可能

11．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各自检测一次，则三人中只有一人及格的概率为　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．以上都不对

12．已知抛物线在点（2,－1）处与直线相切,则的值为（　　）

　　　 A．20　　　　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　　　 C．9　　　　　　　　　　　　D．2

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．已知集合A=且满足A∩B=　　，则实数a的取值范围是　　　　　　　  。

14．一个等差数列共有2n－1（n∈N，n＞1）项，若该数列的各项和为2008，且a_n=8，则n= 　　　　　　

15．若函数的最小正周期是=　　　　　

16．已知的取值范围是　　　　　　　　

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题12分）

已知，求的值

18．（本题12分）已知函数，且，且的定义域为[0, 1]

　 （1）求的表达式；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求的值域．

19．（本题12分）如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB = AA₁ = a，，M是AD的中点.

　 （1）求证：AD∥平面A₁BC；

　 （2）求证：平面A₁MC⊥平面A₁BD₁；

　 （3）求点A到平面A_1cMC的距离.

20．（本题12分）某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

　 （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

　 （2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

　　　 （参考数据：1.5⁶ = 11.4，1.5⁷ = 17.1，1.5⁸ = 25.6）

21．（本题满分12分）已知函数，其中a为大于零的常数．

（1）求函数的定义域；

（2）若对任意, ，恒有，试确定a的取值范围．

22．（本题14分）已知定义在, 1)上的函数满足，且对x, , 1)时有：

（1）判断在, 1)上的奇偶性并证明之；

（2）令，，求数列的通项公式；

（3）设T_n为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，

　　 有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	C	A	C	D	A	B	A	C	B	C	B

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

11．（1，+∞）　　12．126　　 13．4　　 14．（0,2]　　 15．14

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．－

18．（1）∵　　∴

∴　　∴

故即为所求

　 （2）在[0, 1]内单调递减

设x₁, x₂为[0, 1]内任意两个实数且x₁<x₂

则

　　　　　　

∵　 ∴

∴　故　从而

即，故在[0, 1]内单调递减．

　 （3）∵　∴值域为, 0]

19．解法一：（1）由已知：AD∥BC，

而BC在平面A₁BC内，AD在平面A₁BC外

所以，AD∥平面A₁BC

　 （2）连结BD

由，

得△DAB ~△CDM， ∴∠ADB =∠DCM，

又∠DCM +∠DMC = 90°

∴∠ADB +∠DMC = 90°

故BD⊥CM，

又BD是BD₁在平面ABCD的射影，

由三垂线定理可知：BD₁⊥CM 

同理可得BD₁⊥A₁M，

∴BD₁⊥平面A₁MC， 又平面A₁BD₁

∴平面A₁MC⊥平面A₁BD₁　

　 （3）取BC的中点P，设O为A₁C与BD₁的交点，OC的中点Q，连结AP、PQ，

由AP∥MC知点A到平面A₁MC的距离等于点P到平面A₁MC的距离，

由P、Q分别是BC、OC的中点知PQ∥BO，，

又BO⊥平面A₁MC， ∴PQ⊥平面A₁MC，而BO = a， ，

即点A到平面A₁MC的距离为.

解法二：以D为原点，以射线DA、DC、DD₁分别为x、y、z的正半轴建立空间直坐标系，可知各点坐标分别为D（0，0，0），

 

　 （1）由此可知，

，所以

故∥，

而BC在平面A₁BC内，AD在平面A₁BC外

所以AD∥平面A₁BC

　 （2），

 故BD⊥CM.

 同理可得BD₁⊥A₁M，

∴BD₁⊥平面A₁MC， 又平面A₁BD₁

∴平面A₁MC⊥平面A₁BD₁　

　 （3），由（2）知是平面A₁MC的法向量，

∴点A到平面A₁MC的距离为

20．解：（1）设2004年为第一年，其电力型公交车的数量为a₁ = 128，第n年的电力型公交车的数量为a_n辆依题意可知{a_n}为a₁ = 128，q = 1.5的等比数列，

　　2004年a₁ = 128，

　　2005年a₂ = 128×1.5，…

2010年（辆）

　 （2）记，依据题意，得

于是（辆），即，

因此

所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

21．（1）由得

方程的根的判别式

当时　∴恒成立，故；

当时　此时方程的根为

且　故或

综上，当时，函数的定义域为；

当时，函数的定义域为或}

　 （2）当, 时，恒有成立．

即：　对, 恒成立

令 （, ）　　故

故当时，对任意, 恒有成立．

22．（1）为奇函数，令，∴

又当时  即：．

故为奇函数．

　 （2）∵满足，

∴　∴

而由（1）知，在, 1)上为奇函数

∴　　 ∴　　即

∴是以为首项，以公比为2的等比数列

∴

　 （3）

假设存在正整数m，使得对于任意的，有成立，

即：对一切恒成立．

只需　即．

故存在正整数m，使得对恒有成立，

此时m的最小值为10