高三年级数学综合训练(一)

高三年级数学综合训练(一)

试卷

总分150分

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数的反函数为（　）

（A）　　　　（B）

（C）　　　　（D）

 2．函数在区间上存在反函数的充要条件是 （　 ）

A、或　 B、或　　C、　　D、

3. 函数在其定义域上单调递减，且值域为，则它的反函数的值（　 ）

　　A．　 　　　B．　 　　　C．　　　　D．

4．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　）

　　（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

5．已知实数同时满足（1）；（2）；（3），则 的最大值是　　  （　）

　 A、　　　　B、　 　　C、　　　　D、　　　　　 　　　　　　 

6．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的　（　 ）

　　　A　 外心　　　　　　　B　内心　　　　　　　　C　重心　　　　　　　　 D　垂心

7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”。下面4个函数中，能够被用来构造“同族函数”的是 (　 )

A、　　　 　B、　　　 C、　 　　　 D、　

8．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：

（1）（2）（3）

（4），其中，假命题是（　）

A、（1）（2）　　　　　 B、（2）（3）　　  C、（1）（3）　　　　D、（2）（4）　

9. 已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值

为 (　 )

（Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）2

10. 当时，函数的　　(　　)

A、最小值是　　  B、最大值是　　 C、最小值是4　　　D、最大是4

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡的相应位置

11．若三点共线，则的值等于_________________.

12．双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则等于　　　　　　　

13．设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝　　　　.,

14. 如果函数满足：对任意实数都有，且，则______________________. 

15. 三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　　　.

16. 设，是两个不共线的向量，若，，，且 三点共线，则_______　　

三．解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本题12分)已知是正方形，平面，，设点是棱上的动点（不含端点），过点的平面交棱于点

（1）求证：

（2）求二面角的大小（结果用反正弦函数值表示）

（3）试确定点的位置，使平面，试说明理由

18.(本题14分)已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），。

(1)若，求角α的值；

 (2)若，求的值.

19.(本小题满分14分)

设数列{a_n}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N^*都有a=2S_n-a_n.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若b_n=(2n+1),求数列{b_n}的前n项和T_n.

20. （本题满分14分）　如图已知F₁、F₂为

椭圆的两焦点，M是椭圆上一点，

延长F₁M到N，P是NF₂上一点，且满足

，，点N的轨迹方程为　　　　 E。

⑴求曲线E的方程；

⑵过F₁的直线l交椭圆于G，交曲线E于H，

（G、H都在x轴上方），若，

求直线l的方程；

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

21、（本小题满分16分）已知函数.

　　 （1）当时，求证：；

（2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在实数，使得函数的定义域为时，值域为，求m的取值范围.

参考答案：

一、1—5　BACCB ,　 6—10 DADCC

二、11．　 12．　 13．77　 14．4012　　15．　　 16．- 8

17.（1），又，

（2）连结，交于点，，又，面面

，，是二面角的平面角，不妨设

则，，，，中，

　　二面角的大小为

（3）假设棱上存在点，由题意得，要使，只要即可

当时，中，，

，时，

18．解：解：(1)∵=(cos－3, sin), =(cos, sin－3).

∴∣∣=。

∣∣=。

由∣∣=∣∣得sin=cos.又∵，∴=

(2)由· =－1,得(cos－3)cos+sin (sin－3)=－1　

∴ sin+cos=.①　　　

又.

 由①式两边平方得1+2sincos= ,　∴2sincos=,　

∴　　　

19.(本小题满分12分)

　解：(Ⅰ)∴a=2S_n-a_n,n∈N^*，

∴当n=1时，a=2a₁-a₁,即a=a₁

∵a₁>0　 a₁=1. …1分

又a，

∴a-a,

即(a_n+1-a_n) ,

从而a_n+1-a_n=1. …4分

故数列{a_n}是1为首项，公差为1的等差数列.

∴a_n=n. …6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：b_n=(2n+1) =(2n+1)2ⁿ.

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+(2n+1)2ⁿ　　　　①

∴2T_n=3×2²+5×2³+…+(2n-1)2ⁿ+(2n+1)2ⁿ⁺¹　　　　②

①—②得-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-(2n+1)2ⁿ⁺¹

　　　　

 

 =6-（2n+1）2ⁿ⁺¹+

　=-(2n-1)2ⁿ⁺¹-2… 11分

故T_n=(2n-1)2ⁿ⁺¹+2.… 12分

20.解：⑴由已知得F₁（－1，0）　　

　　　　  ∵，＝0

∴MP为线段NF₂的垂直平分线　

∴│MN│＝│MF₂│　　 …3分

由椭圆的定义知：│MF₁│＋│MF₂│＝2

∴│NF₁│＝│MN│＋│MF₁│＝│MF₂│＋│MF₁│＝2

显然M为椭圆左、右端点时不满足＝0

∴曲线E的方程为（x＋1）²＋y²＝8 （y≠0）　　

⑵由⑴知│F₁H│＝2　　

∵＝2　　　　　 ∴G为线段F₁H的中点

∴│F₁G│＝│F₁H│＝

∴G点的轨迹是以F₁（－1，0）为圆心，为半径的圆的x轴上半部分

∴G点轨迹方程是（x＋1）²＋y²＝2 （y＞0）　

又∵G在椭圆上：＝1

　由 解得

∴G（0，1）　　　…13分

∴所求的直线方程为：y＝x＋1　　　

21、解：（1）∵

 ∴在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数.

由，可得，即.

∴…3分

故，即…4分

（2）不存在满足条件的实数.

若存在满足条件的实数，使得函数的定义域、值域都是[]，则.

①当∈（0，1）时，在（0，1）上为减函数.

故　　 解得.

故此时不存在适合条件的实数.…6分

②当∈时，在（1，+∞）上为增函数.

故

此时是方程的根，由于此方程无实根.

故此时不存在适合条件的实数.…8分

③当∈（0，1），时，由于1∈[]，而，故此时不存在适合条件的实数.

综上可知，不存在适合条件的实数.…10分

（3）若存在实数，使得函数的定义域为[]时，值域为，则.

①当∈（0，1）时，由于在（0，1）上是减函数，值域为，

即　解得a=b>0，不合题意，所以不存在.

②当时，由（2）知0在值域内，值域不可能是，所以不存在.　故只有.

∵在（1，+∞ ）上是增函数，∴

是方程有两个根.

即关于x的方程有两个大于1的实根.

设这两个根为.

则　　∴

解得.…14分

综上m的取值范围是.