高三复习质量检测数学（1）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．设
是两个非空集合，存在元素
且
，则下列结论中一定正确的是（ ） 
A 
B 
2．若角
是直线的倾斜角，且
，则
（ ）
3．在等差数列
中，
，则此数列的前13项之和等于 （ ） 13
26
39
52
4． 若点
在第一象限，且在直线
上移动，则
（ ）
最大值为1
最小值为1 最大值为
既无最大值也无最小值
5．已知不共线向量
，
，若A、B、C三点共线，实数
等于（ ） 
以上都不对
6．已知双曲线
的右焦点为
，以为圆心的圆：
与直线
相切，则双曲线的离心率为 （ ）
7．函数
的反函数
为 （ ）
8．有以下四个命题：①若直线
是异面直线，
是异面直线，则
是异面直线；②若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行；③若一个平面内有不共线三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；④三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线一定平行．以上命题中真命题个数有 （ ）
0个
1个 2个 3个
9．用5种不同颜色为下列的广告牌着色（如图），要求在①②③④四个不
同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数共有（ ）
320
240
180
135
10．已知函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
11．求 
等于（ ）
12．若函数
在
上是奇函数且可导，若
恒成立，且常数
，则下列不等式一定成立的是 （ ）
二、填空题（本大题共4小题，共16分）
13．函数
的定义域为
。
14．在
的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个平面各有且仅有一个公共点，则这两个点之间的球面距离等于
。
15．已知点
满足条件：
，则
的最大值为____________。
16．对于函数
，给出下列四个命题：
①存在实数，使
；
②存在实数
恒成立；
③存在
，使函数
的图像关于
轴对称；
④函数
的图像关于点
对称；
其中正确命题的序号是________________。
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（本大题满分12分）已知
，
，记函数
。
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值； （Ⅱ）当
时，求函数的值域。
18．（本大题满分12分）投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分，经过多次试验，某生投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋。（Ⅰ）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。（Ⅱ）求该人两次投掷后得2分的概率。
19.(本大题满分12分)设
（
都是整数）奇函数，且
在
上是单调递增。
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）试判断函数在
上的单调性，并证明。
20．（本大题满分12分）已知正四棱柱
中，
，
分别为
的中点，
平面
。（I）求证：
平面
；
（II）求二面角
的平面角的正切值。
21．(本大题满分12分)抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线
，一光源在点
处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点
，反射后又射向抛物线上的点
，再反射后，又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线
上的点
，再反射后又射回到点
．（如图所示）（I）设
两点坐标分别为
，证明：
；（II）求此抛物线方程；
（III）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点关于
所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（本大题满分14分）由原点O向三次曲线
引切线，切于点P1（x1，y1）（O，P1两点不重合），再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2，y2）（P1，P2不重合）.如此继续下去，得到点列
（1）求x1；（2）求
满足的关系式；（3）若a>0，试判断
与a的大小关系并说明理由.
一、选择题（每题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | D | C | A | B | B | D | A | C | D | D | A |
二、填空题（每题4分，共16分）
13、
（理科）
14、 
15、15
16、（文）③④（理）
三、解答题
17、解：（Ⅰ）
-----------------------2分
=
---------------------------4分
=
-------------------------6分
所以
，的最大值为
，最小值为
-----------------------7分
（Ⅱ）当，即
，有
------------------10分
所以当，函数的值域为
-----------------------12分
18、解：（Ⅰ）依题意知：
是奇函数，可得
---------------1分
又
因为都是整数，所以
------------------3分
故：
------------------------4分
（Ⅱ）
，
时，在
上单调递增，在
上单调递减-------------------6分
证明如下：设
，则
--------------8分
因为，所以
，故
上单调递增；------------------------------------------10分
同理可证
上单调递减.------------------------------------12分
（理科可直接用导数证明）
19、解：（Ⅰ）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。
（Ⅱ）（文科）分别求该人两次投掷后得0分、1分、2分的概率。
（理科）求该人两次投掷后得分
的数学期望。
解：（Ⅰ）、“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记
为事件A，B，C。则由题意知：
---------------3分
因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为；
-------------------------------6分
（Ⅱ）、两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4则：
-------------------------------------- 7分
--------------------------------------9分
--------------------------------------12分
；
--------------------------------------理科10分
--------------------------------------12分
20、解：（理科）（1）如图连接
，交
，再连
又
故为
在面
的射影，由三垂线定理 
所以
即为二面角
的平面角---------------------------3分
在矩形中，因，故
～
得
--------------------------------------------6分
（2）如图由（1）知 ，
面
即面
面，其中BP为交线
故
到面
的距离即为到BP的距离
在矩形中，设到BP的距离为
-----------9分
在
中，
--------12分
（文科）在正四棱柱中，
，
，所以
，又因为平面，所以
，故平面----------------------4分
（第二问参照理科标准给分）
另解（1）如图建立坐标系，设
故
、
、
、
即
向量
与面
垂直
设
与面BDN垂直，则
即
设所求二面角为，则
， 
（2）由
在向量
方向上的投影为
所以到面的距离为
21、解：（1）由抛物线的光学性质知光线PQ必过抛物线的焦点
，当直线PQ的倾斜角不为
时，设PQ的方程为：
①
------------------------------------------------2分
代入方程：
中，整理可得：
，由根与系数的关系可得
----3分
当直线PQ的倾斜角为是，将
代入抛物线方程，可得
，同样满足------4分
（2）因为光线QN经直线
反射后又射向M点，所以MN与QN关于直线反射对称，设点
关于的对称点为
则
-------------6分
直线QN的方程为
，Q点纵坐标
，因为点P纵坐标为
，由（1）可知，
即：
，所以
-------------------------------------------------------------8分
（3）将
代入，可知P点坐标为
；将代入直线
可得
，所以直线PN的方程为 
，设点关于的对称点为
，则
-------------------------------------10分
将
代入抛物线方程，原式成立，
故存在一点
满足题意。-----------------------------------------------------12分
22、解：（1）解：由
过曲线上点P1（x1，y1）的切线L1的斜率为
又
----------------------------------4分
（2）过曲线上的点
的切线方程是：
过曲线上点
故
即：
-------------------------------------------------------------8分
（3）由（2）得：
故数列
为首项，公比为
的等比数列.
--------------------------------------------------------12分
∵
∴当n为偶数时：
当n为奇数时：
--------------------14分