高三第二次模拟考试数学试题（理）
时间120分钟 总分150分 命题人：曹干铁 审校人：王立象等
第Ⅰ卷（选择题共50分）
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
·
·
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么它在
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
球的表面积公式
，其中
表示球的半径．
球的体积公式
，其中表示球的半径．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数
，它的反函数为
，则
A．
B．
C．
D．2
2．公差不为零的等差数列
中，
，且
、
、
成等比数列，则数列的公差等于
A . 4 B. 3 C. 2 D. 1
3．已知平面
，直线
，点，有下面四个命题：
①若
，则
与
必为异面直线；
②若
，则
；
③若
，则
；
④若
，则
。
其中正确命题的个数是( )。
A．
B．
C．
D．
4．设
是集合A到B的映射，如果
,则
等于
A .
B.
C.
或
D.或
5．若条件p：
，条件q：2<x<3，则
是
的
A．必要不充分条件；B．充分不必要条件；C．充要条件；D．既非充分也非必要条件
6.在
中，
、
、
分别是角A,B,C所对的边，
,
,的面积
,则
的值等于
A．
.
B． 
C．
D．
7．从6人中选出4人分别到莽山、韶山、衡山、张家界4个旅游景点游览，要求每个景点
有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲、乙两人不去莽山景点游览，则不同的选
择方案共有
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
8．如图：在△ABC中，
，
，则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是
A．
B．
C． 
D． 
10．一次研究性课堂上，老师给出一个函数
,四位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时各给出了一个命题：
（1）甲：函数
的值域为
（2）乙：若
,则有
（3）丙：关于
的方程
（为常数且
）的所有实数解的和与有关
（4）丁：若规定
，
，则
对任意
恒成立上述四个命题正确的有
A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．已知圆
与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=
12．若
的展开式中的第五项等于 , 则
=
13．某学校对学生身高进行统计. 所有学生的身高数近似服从正态分布
，已知所有学生中身高在153cm以下的人数为202人，则该校学生总人数约为
人（用整数作答）.
以下供查阅的部分标准正态分布数据可选择使用：
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|
|
14．正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,若图中三角形(正四面体的截面)的面积是
，则该球球面面积为
15.设
为坐标原点，
,若
的坐标满足
,则
的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）已知向量 
，
，
，函数 
， 
.
（1）要得到
的图象，只需把
的图象经过怎样的平移或伸缩变换？
（2）求
的最大值及相应的x．
17．（本小题满分12分）10个实习小组在显微镜下试测一块矩形芯片，测得其长为
的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为
的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形芯片的长与宽分别为随机变量
和
，周长为
。
⑴分别写出随机变量和的分布列；
⑵求周长的分布列及的数学期望。
18．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，
,将它们沿对角线
折起，折起后C变为
,且、间的距离为2
（1）求证：平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）
为线段
上的一个动点，当线段
的长为多少时，
与平面
成的角为
.
19、(本小题满分12分)某市拟在半径为的圆形花园中心竖建一高杆顶灯，若地面各点的亮度与光线和地面所成角的正弦值成正比，与该点到灯的距离的平方成反比。
（1） 问高杆顶灯的灯柱设计为多高时，沿花园周边小路上的亮度最大？
（2） 小路上亮度最大时，用你所学的数学知识说明花园内各点的亮度与这点到高杆顶灯底部（花园中心）距离的变化关系。
20．(本小题满分13分)在数列{an}中，a1=
，an+1= 
（n∈N*）
（1）证明：an＞2（n∈N*）；
（2）对于n∈N*证明：
①an+1－2＜
（an－2）；
②a1+a2+a3+…+an＜2n+1．
21．（本小题满分14分）已知
満足：
,记点
的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点
且与轨迹交于、
两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在x轴上总存在定点
，使
恒成
立，求实数的值.
（ii）过、作直线
的垂线
、
，垂足分别为、，记
，求λ的取值范围.
高三第二次模拟考试数学试题（理）参考解答（理）
1．B. 2．C．3．B．4．D．5、A、6．A、7．B． 8．C. 9．D、10．C．
11．2;12. 1 ;13．2500．; 14．
; 15．
16、解：（1）=
= 
=
=
…………………………………2分
=
=
……………4分
所以要得到的图象只需把
的图象向左平移
即可．……6分
（2）
= －
=－
=
………………………………………………9分
当
，即
时，
取得最大值
…………………………………………………12分
17．解：⑴随机变量
的分布律如下表：
| 长度 | 29 | 30 | 31 |
| P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
| 宽度 | 19 | 20 | 21 |
| P | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
……………………………………………………………………………4分
⑵解法一（利用周长的分布计算）
，周长分布律如下表：
| 周长 | 96 | 98 | 100 | 102 | 104 |
| P | 0.09 | 0.27 | 0.35 | 0.23 | 0.06 |
……………………………………………………………………………9分
………………………………………12分
解法二:由长和宽的分布率可得
由期望的性质可得
……………………………12分
18．解法一：(1)
ABCD为平行四边形
即
；………………………………………………1分
在
中，
,
又
………………………………………………………3分
平面
又
平面
；………………………………………………4分
(2)由（1）知；
过作
于
则
过作
于
连
由三垂线定理的逆定理知
为二面角的平面角………………………………………………6分
由
,
有
在
中，
在中，
在
中, 
二面角的大小是为
…………………………………………8分
(3)猜想为的中点时，与平面成的角为
证明（略）
………………………………………………………12分
解法二：(1)同解法一
(2)由（1）易知
平面
建立如图所示空间直角坐标系，则
设平面的法向量为
由
可取
设平面
的法向量为
由
可取
又可知二面角是锐角.
∴二面角的大小是
.………………………………………8分
(3)令
则
从而
易知平面的法向量为
则
因此当线段的长为1时，与平面成的角为.…………………………12分19、（1）解：设高杆顶灯的柱高为(即顶灯到地面的距离为)，光线和地面所成角
，花园周边小路上的亮度为
,依题意有
…………………………………………………………………………2分
又
…………………………………………………………………………3分
……………………………………………………………………4分
…………………………………………………5分
当
时，
当
时，
…………………………………………………………6分
所以，当且仅当
时，取得最大值
即高杆顶灯的顶灯的柱高为
时，花园周边小路上的亮度最大…………………7分
（2）当高杆顶灯的柱高为时，设花园内一点与花园中心（灯底）的距离为
。由（1）知该点的亮度为
……………………………………………………………9分
…………………………………………………………10分
,
从而是关于的减函数，………………………………11分
即离花园中心越远的点，亮度越小 ……………………………………………………12分
20．证明：（1）①当n=1时，a1=
结论成立
②假设当n=k时，不等式ak＞2成立
当n=k+1时，ak+1=
ak+1－2=－2=
＞0
∴ak+1＞2，即当n=k+1时，不等式也成立………………………………………5分
由（1）（2）知，an＞2对n∈N*都成立．
（2）①
……………………………………7分
∵0＜
＜1
∴
即an+1－2＜
（an－2）. …………………………………………………………9分
②由①an－2＜（an－1－2）＜
（an－2－2）＜…＜
（a1－2）=
∴an＜2+
…………………………………………………………11分
∴a1+a2+a3+…+an＜（2+）+（2+）+…+（2+）
=2n+（++…+）
=2n+1－＜2n+1. …………………………………………13分
21．解：（1）
由
得
，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由
，故轨迹E的方程为
…………4分
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为
，与双曲线方程联立消y得
，
解得k2 >3 ………………………………………………………………………………5分
（i）
|
，
故得
对任意的
恒成立，
∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由
知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ……………………………………………………8分
（ii）
是双曲线的右准线，……………………………9分
由双曲线定义得：
，
方法一：
………10分
，…………………………………………12分
注意到直线的斜率不存在时，
，
综上，
………………………………………………………………14分
方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则
………12分
|
故： ………………14分