高三第二次五校联考数学（文科）试题
参考公式：
如果事件 A ， B 互斥，那么P（ A+ B ）= P( A)+ P(
B) ， P( A+ B)= P(
A)
P( B)
如果事件A在一次试验中发生的概念是p，那么n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率：
球的表面积公式：S=
， 其中 R 表示球的半径
球的体积公式V=
，其中R表示球的半径
卷一
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知四边形ABCD上任意一点P在映射
：
→
作用下的象P‘构成的图形为四边形
。若四边形ABCD的面积等于6，则四边形的面积等于 （ ）
A．9 B．
C．
D．6
2．方程
的根所在的区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m+n的值为（ ）
|
4．以下通项公式中，不是数列
的通项公式的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．有一种波，其波形为函数
的图象，若其在区间[0，
]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数的最小值是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U中有18个元素，设∁U(A∪B)有x个元素，则x的取值范围是 （ ）
A．3≤x≤8且x∈N B．2≤x≤8且x∈N
C．8≤x≤12且x∈N D．10≤x≤15且x∈N
7．已知平面向量
，则
的值为
（ ）
A．
B．－ C．
D．－
8．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层随机抽样，则能组成课外兴趣小组的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知直线
通过抛物线
的焦点
，且与抛物线相交于
两点，分别过两点的抛物线的两条切线相交于
点，则
的大小是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设
是异面直线，给出下列四个命题：①存在平面
，使
；
|
，使与距离相等；③空间存在直线
，使上任一点到距离相等；④与都相交的两条直线
一定是异面直线。
其中正确命题的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．原点和点
在直线
两侧，则
的取值范围是 .
12．
的展开式中系数最小的项的系数为 .（用数字表示）
13．已知平面上三点A、B、C满足
，
，
，则
的值等于 .
14．光线每通过一块玻璃，其强度要失掉
。把几块同样的玻璃重叠起来，通过它们的光线的强度减弱到原来强度的
以下，那么至少重叠 块玻璃（
）。
15．过
轴上一点
，向圆
作切线，切点分别为，则四边形
面积的最小值为
。
16．甲袋装有6个球，1个球标0，2个球标1，3个球标2；乙袋装有7个球，4个球标0，1个球标1，2个球标2。现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球。则取出的三个球上标有的数码之积为4的概率为 。
17．已知函数
，给出下列四个命题：
①
为奇函数的充要条件是
；
|
的图象关于点
对称；
③当
时，方程
的解集一定非空；
④方程的解的个数一定不超过2个。
其中正确命题的序号是 。（写出所有正确命题的序号）
卷二
三、解答题
18．（本小题满分14分）已知
为锐角，且
（I）求
的值；
（II）求
的值
19．（本小题满分14分）已知
，数列
是首项为1，公差为2的等差数列。
（I）求数列
的通项公式；
（II）求数列
的前
项之和
。
|
20．（本小题共14分）已知斜三棱柱
，
，
，
在底面
上的射影恰为
的中点
，又知
。
（I）求证：
平面
；
（II）求
到平面
的距离；
（III）求二面角
的大小。
21．（本小题共14分）设
分别为
的重心和外心，
，且
。
（I）求点
的轨迹
的方程；
（II）若
是过点
且垂直于轴的直线，是否存在直线，使得与曲线交于两个不同的点
，且
恰被平分？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。
|
22．已知函数
处取得极值，且函数
的图
象经过点（1，0）.
（I）求函数
的解析式；
（II）设A、B为函数图象上任意相异的两个点，试判定直线AB和直线
的位置关系并说明理由；
（III）设函数
，若对任意t、
恒成立，求实数m的取值范围。
参考答案
卷一
一、选择题
1．选D 提示：在映射f作用下，四边形ABCD整体平移，面积不变
|
。
3．选B。提示：3的对面的数字是6，4 的对面的数字是2，故
。
4．选C．提示：代入检验。
5．选C。提示：
的最小正周期T=4，可得
6．选B。提示：设A∪B元素个数为y，可知10≤y≤16, y∈N，又由x = 18－y可得。
7．选B。提示：由已知，向量
反向，
。故
。
8．选A。提示：依题意:课外兴趣味小组由4名女生2名男生组成，共有
种选法.其概率为。
9．选C。提示：设
代入得
，记
，
，
，
，
。
10．选C。提示：①正确；②正确，即为公垂线AB的中垂面；③存在，过AB中点
作 的平行线
，则的平分线符合条件；④不正确，两条直线可以相交。
二、填空题
11．
。提示：由
可知。
12．
。提示：最小系数为
。
13．
。提示：
，
14．11．提示：
，
，取
。
15．
。提示：因
，
故四边形面积的最小值为。
16．
。提示：取出的三个球上标有的数码之积为4有两种情形：甲取标有数字1的球一个，乙取标有数字2的球两个；甲取标有数字2的球一个，乙取标有数字1和2的球各一个。取出的三个球上标有的数码之积为4的概率为
。
17．①②③。提示：考查函数的基本性质，④可举反例：
。
卷二
三、解答题
18．解：因为为锐角，且，所以
。————2分
（I）则
。————7分
（II）
————14分
19．解：（I）
，
；————4分
（II）
——8分
两式相减得
————10分
-
，————12分
故
。————14分
20．解：（I）因为
平面，
所以平面
平面，
又
，所以
平面
，
得
，又
所以平面；————4分
（II）因为
，所以四边形
为菱形，
故
，又为中点，知
。
取
中点，则
平面
，从而面
面，
过作
于
，则
面，
在
中，
，故
，
即到平面的距离为。————9分
（III）过作
于
，连
，则
，
从而
为二面角的平面角，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
故二面角的大小为
。————14分
解法2：（I）如图，取
的中点，则
，因为，
所以
，又平面，
以
为
轴建立空间坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，由
，知
，
又，从而平面；————4分
（II）由
，得
。
设平面的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
所以点
到平面的距离
。——9分
（III）再设平面的法向量为
，
，，所以
，设，则
，
故
，根据法向量的方向，
可知二面角的大小为
。————14分
21．解：（I）设
，则
，因为 ，可得
；又由
，
可得点的轨迹的方程为
。————6分（没有
扣1分）
（II）假设存在直线
，代入
并整理得
，————8分
设
，则
————10分
又
，解得
或
————13分
特别地，若
，代入得，
，此方程无解，即。
综上，的斜率的取值范围是或。————14分
22．解：（I）
————3分
又
故c=2，从而
。————5分
（II）直线AB和直线总相交。
，由导数的几何意义可知，
直线AB的
斜率
而直线的斜率为
，
所以两条直线相交。————9分
（III）
，易知在
递增，在
递减，
在x=0处有最大值2，————11分
所以命题转化为
对
恒成立，即
，————12分
设
则有
解得
。————16分