高三第一学期第2次月考数学试卷
总分150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知
是全集，
是非空集合，且
，则下面结论中不正确的是
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
3．用长度为
的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A．
B．
C．
D．
4．命题
：若
，则
是
的充分不必要条件；命题
：函数
的定义域是
，则
A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真
5．已知
，且
，则下列四个数中最大的一个是
A．
B．
C．
D．
6．不等式
的解集为
,则函数
的图象为
7．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据:
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则
的函数关系与下列哪类函数最接近?（其中
为待定系数）
A．
B．
C．
D．
8．函8.数
的定义域为
，值域为
，则区间的长度
的最小值是
A．
B．
C．
D．
9．方程
＝
有解
，则
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在
上的函数
的图像关于点
对称，且满足
，
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
11．设函数
的图像为
，函数
的图像为
，若与关于直线
对称，则
的值为
．
12．设集合
，
，且
，则实数
的取值范围是
．
13．不等式
的解集为
．
14．函数
上是增函数，则的取值范围是 ．
15．设
，且
，则
的最大值是 ．
16．对于各数互不相等的正数数组
（
是不小于的正整数），如果在
时有
，则称
与
是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．若各数互不相等的正数数组
的“逆序数”是2，则
的“逆序数”是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题共12分）
已知函数
的定义域为
，且同时满足：①
；②
恒成立；③若
，则有
．试求：
（1）
的值；
（2）函数的最值．
18．（本小题共1 4分）
已知关于
的不等式
的解集为
，且
，求实数的取值范围．
19．（本小题共14分）
甲、乙两公司生产同一种产品，经测算，对于函数、
及任意的
，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险．
（1）试解释
、
的实际意义；
（2）当
，
时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用．问此时甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
20．（本小题共14分）
已知
，且
，求证：
．
21．（本小题共16分）
已知函数：
．
（1）当的定义域为
时，求证：的值域为
；
（2）设函数
，求的最小值 ．
数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．D
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
11． 1 12． 
13． 
14． 
15． 
16． 13
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题共12分）
（1）在条件③中,令
，得
，即
，···········2分
又
时，恒成立，∴
．
············5分
（2）设
，则必存在实数
，使得
，
由条件③得, 
，∴
，
由条件②得, 
， ·····················9分
故当时,有
．
故函数的最小值为
，最大值为．
······························12分
18．（本小题共1 4分）
由
，得：
，
∴
，∴
． … ……………2分
当
时，原不等式的解集
不是
的子集． ………………4分
当
时，∵
，
（1）当
时，
，则
，此时，不等式的解集
； ………………6分
（2）当
时，
,故
； ………………8分
（3）当
时，
，则
，此时，不等式的解集
不是的子集；
………………10分
（4）当
时，，此时，不等式的解集
不是的子集．
………………12分
综上，
． ………………14分
19．（本小题共14分）
（1）表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险至少要投入11万元的宣传费；表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险至少要投入21万元的宣传费． …………………5分
（2）设甲、乙公司投入的宣传费分别为、
万元，当且仅当
①，
且
……②时双方均无失败的风险，
…………………9分
由①②得
易解得
，
………12分
所以
，故
．
………14分
20．（本小题共14分）
设
，
，
，易知
，
………………２分
由知
， ………………４分
所以
； ………………６分
又
，
所以
．故
． ………………13分
所以 ………………14分
21．（本小题共16分）
（1）证明：
，
当
，
，
，
，
∴
．
即的值域为． ………………4分
（2）
①当
．
如果
即
时，则函数在
上单调递增，
∴
；
…………6分
如果
； ………………8分
当
时，最小值不存在．
…………………9分
②当
，
如果
；
……………………11分
如果
…………………13分
当
．
．
……………15分
综合得：当
时，g（x）最小值是
；当
时，g（x）最小值是
；当
时，g（x）最小值为
；当时，g（x）最小值不存在． …………………16分