高三年级第一学期期中考试数学试题（理科）
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷
一、选择题：共12小题每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确的选项的代号涂在答题卡上.
1．设集合
（ ）
A．
B．[－2，0] C．[0，2] D．
2．已知向量
的值为 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
3．已知函数
的解集为（－2，1）则函数
的图象为
（ ）
|
4．如果不等式组
有解，则实数a的取值范围是 （ ）
A．（－∞，－1）∪（3，+∞） B．（－∞，－3）∪（1，+∞）
C．（－1，3） D．（－3，1）
5．等差数列{an}中，a1+a4+a7=39, a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于 （ ）
A．66 B．99 C．144 D．297
6．已知函数
在区间[0，t]上至少取得2个最大值，则正整数t的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．设函数
的前n项和是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知正数
的最小值是9，则正数a的值是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．函数
的单调递减区间是 （ ）
A．（
，+∞） B．（－∞，） C．（0，） D．（e，+∞）
10．函数
的定义域为[a，b]，值域为[0，2]则b－a的最小值是 （ ）
A．
B．3 C．
D．2
11．在等比数列{
}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{+1}也是等比数列，则Sn等于（ ）
A．2n+1－2 B．3n C．2n D．3n－1
12．已知
=
（ ）
A．
B．－
C．－或 D．0或－
二、填空题：本大题有4个小题，每小题4分，共16分；将答案填写在第II卷相应的题号后面的空格内.
13．已知x、y满足约束条件
的最小值为
.
14．若
值为
.
|
的图象在点P处的切线方
程是
=
.
16．有两个向量
=（1，0），
=（0，1），今有动
点P从P0（－1，2）开始沿着与向量+相同
的方向作匀速直线运动，速度为+；另一动点Q从Q0（－2，－1）开始沿着与向量3+2相同的方向作匀速直线运动，速度为3+2.设P、Q在时刻t=0秒时分别在P0、Q0处，则当
时，t=
秒.
第Ⅱ卷
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.
17．（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，且
，求△ABC的面积S.
18．（12分）已知
、
（1）求向量
；
（2）求、的值.
19．（12分）已知函数
的图象关于原点对称.
（1）写出y=g(x)的解析式；
（2）若函数F(x)=f(x)+g(x)+m为奇函数，试确定实数m的值；
（3）当
成立，求 实数n的取值范围.
20．某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元.
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）当140<a≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
21．（12分）已知
（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
22．（14分）已知：
在曲线
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和为Tn，且满足
，设定b1的值，使得数列{bn}是等差数列；
（3）求证：
参考答案及评分标准
一、选择题
BCDCB DABCC CD
二、填空题
13.－6 14.
15.2 16.2
三、解答题
17．解：由已知得
……………………………………2′
18．解：（1）
……………………1′
（2）由（1）可知，
……………………8′
19．解：（1）设M（x,y）是函数y=g(x)图象上任意一点，
则M（x,y）关于原点的参考消息称点为N（－x,－y）
N在函数
…3′
（2）
为奇函数.
（3）由
20．解：（1）
（2）
…………………………6′
21．解：（1）当
……2′
∴f(x)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间（－∞，0）（1，+∞）…4′
（2）
………………6′
令
列表如下：
| x | (－∞，0) | 0 | （0，2－a） | 2－a | (2－a,+ ∞) |
| f′(x) | － | 0 | + | 0 | － |
| f(x) |
| 极少 |
| 极大 |
|
由表可知，
……………………………………8′
∴不存在实数a，使f(x)最大值为3.………………………………………………12′
22．解：（1）由于
（2）
此时数列{bn}是等差数列……………………………………………………10′
（3）
