高三年级理科数学第一学期期中联考试卷
命题人：萧山中学 李金兴 审校：莫维平
一．选择题（每小题仅有一个答案正确,每小题5分,共50分）
1．复数
,
（其中
）,那么
是实数的充要条件是
A．
B．
C．
D．
2．数列
中, 
,
,那么
等于
A．16 B．8 C．32 D．64
3．对于函数
，下列叙述正确的是
A．既有极大值又有最大值 B．有极大值但没有最大值
C．没有极大值但有最大值 D．既无极大值又无最大值
4．对于函数
（其中
为某一实数）,下列叙述正确的是
A．函数
有最小值
;
B．函数有最小值
;
C．函数有最大值 D．函数不一定有最值．
5．数列前
项和
,其中
成等比数列,那么
等于
A．7 B．8 C．14 D．27
6．对于集合
,若
,则一定有
A．
B．
C．
D．以上都不对
7．设
,
,那么
是
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 
D．既不充分也不必要条件
8．设
在区间
上的值域为
，那么
的最小值为
A．
B．3 C．
D．
9．设
是离散型随机变量， 
，且
，又已知
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的导函数为
,且对于任意
,总有
成立,那么
与
的大小关系为
A．> B．= C．< D．不确定
二．填空（每小题4分,共16分）
11．已知集合
,从
到
的映射
满足： 中的任何元素都有原象,且
中的元素之和为124,求
．
12．设数列的通项
,则
．
13．定义在
上的函数
是上的连续函数，那么
．
14．关于
的方程
有实根,那么实数的取值范围为__________________．
三．解答题（6大题,每题14分,共84分）
15．已知为定义在
上的偶函数,当
时, 
;
（1）求
时, 的解析式;
（2）求的值域．
16．无穷等比数列的各项都为正数,又
;
（1）求数列的通项公式;
（2）取出数列的前
项,设其中的奇数项之和为
,偶数项之和为
;求出和的表达式（用
表示）．
17．甲乙两袋中装有大小相同的红球和白球，甲袋中装有1个红球和2个白球，乙袋中装有2个红球和1个白球，现从甲乙两袋中各取2个球；设取出的4个球中红球的个数为，
（1）求
的概率；
（2）写出的分布列，并求出的数学期望值．
18．在边长为6的正方形纸板的四角切去相等的正方形,再沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子 （如图） ,
（1）当箱子容积最大时,切去的四个小正方形的边长恰为,求出的值;
（2）若将切下来的四个小正方形再按相同方法做成四个无盖的方底箱子,问：当五个箱子的体积总和最大时, 第一次切下来的四个小正方形的边长是否仍然为?说明理由．
 | |||
 | |||
19．已知函数
;
（1）求
;
（2）设
,求
;
（3）对于题（2）中所得的,设
,问：是否存在正整数,使得对于任意
,均有
成立?若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由．
20．设函数
（1）若是
上的单调函数，求的取值范围并指出单调性；
（2）若函数
的定义域为，求出的取值范围；
（3）若数列
是递增数列，求出的取值范围。
参考答案
一．选择题（50分）
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．A 8．A 9．A 10．C
二．填空题（16分）
11．5 12．234 13．
14．
三．解答题（84分）
15．（14分）
（1）时, 
;------------------------------------------6分
（2）时, 
;
∴
时, 
,
时, 
,
由单调性易知：时,
; -----------------------------------------4分
而
时, 
,又因为是偶函数,
由对称性易知的值域为
．--------------------------------------------------4分
16．（14分）
（1）由
解得
,----------------------------------------3分
因为数列各项为正,所以
;
．--------------------------------3分
（2）
;----------------------------------------------------4分
．-------------------------------------------------4分
17．（14分）
（1） 
;------------------------------------------6分
（2） 的分布列为：
|
| 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
-------------------6分-
所以, 
-------------------------------------------2分
18．（14分）
（1）设切下来的小正方形边长为,则
,
因为
,所以
1时
;
而
时
,
时
,所以
时容积最大;即
．-----6分
（2）设第一次切下来的小正方形边长为,则五个箱子的容积之和为
----------------------------------------------------------4分
因为
,显然不是极值点,---------------------------------2分
所以要使五个箱子的容积之和最大, 第一次切下来的小正方形边长不能为．-2分
19．（14分）
（1） 
---------------------------------------------4分
（2） 
,所以
,而
,
所以
,又
显然成立,所以
．---------------5分
（3） 
,-----------------------------2分
所以
,故存在最小正整数
使恒成立．--------3分
20．（14分）
（1） 
--------------------------------------------------1分
而
------------------------------------------------------2分
所以, 
时, 恒成立, 为增函数;
时, 恒成立, 为增减函数;--------------------------- 2分
（2） 即
恒成立,若
显然成立;
若,则
恒成立,因为
,所以
;
若,则
恒成立,因为
,所以
;
综上所述, 
---------------------------------------------------------4分
（3） 法一：
在
上递增,所以
对于一切
恒成立,此时
,所以
;---------------------2分
又因为
,所以
---------------------------------------------------2分
综上所述, 时,数列递增．-----------------------------------------------1分
法二： 
恒成立-------------------------2分
而
（证略）
所以
----------------------------------------2分
综上所述, 时,数列递增．-----------------------------------------------1分