高三年级数学模拟试题（文科）

高三年级数学模拟试题（文科）

浠水一中　　 巩震　　程强

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．把选项填在答卷的表格中）．

1、定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=

｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为

A、1　　　　  　　 B、0　　　　　　  C、　　　　　 D、

2、x＞0是-1＞0成立的

A、充分不必要条件　　　　　　　　　　 B、必要不充分条件

C、充要条件　　　　　　　　　　　　　 D、既不充分也不必要条件

3、若数列｛a_n｝满足a₁=5,a_n+1=+(n∈N⁺),则其｛a_n｝的前10项和为

A、50　　　　　　  B、100　　　　　　 C、150　　　　　　 D、200

4、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为

A、周期函数，最小正周期为　　　　　 B、周期函数，最小正周期为

C、周期函数，最小正周期为　　　　　 D、非周期函数

5、动点P（m,n）到直线的距离为λ，点P的轨迹为双曲线（且原点O为准线l对应的焦点），则λ的取值为

A、λ∈R　　　　　 B、λ=1　　　　　  C、λ＞1　　　　　 D、0＜λ＜1

6、已知函数f(x)= ,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

A、　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　 D、

7、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有

A、30种 　　　　　  B、33种　　　　　  C、36种　　　　　　　D、39种

8、如图，直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，

CC₁=1，DC上有一动点P，则ΔAPC₁周长的最小值为

A、5+　　  B、5-　　  C、4+　　  D、4-

9、已知函数f(x)=，设=，若≤x₁＜0＜x₂＜x₃，则

A、a₂＜a₃＜a₄　　　　　 B、a₁＜a₂＜a₃　　　　　　　C、a₁＜a₃＜a₂　　　　　　　D、a₃＜a₂＜a₁

10、函数y=的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为

A、4　　　　　  B、2　　　　　　 C、4　　 　　　　 D、8

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11、已知（x）ⁿ的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于　　　，系数最大的项是第　　　　 项。

12、若不等式1-log_a＜0有解，则实数a的范围是　　　　　　  。

13、在ΔABC中，cos2B=,则角B的大小为　　　　　　　 。

14、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为　　　　　　　　　　  。

15、若RtΔABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系是　　　　　　　　　 。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16、（本题满分12分）

已知函数f(x)= +2sin2x

（1）求函数f(x)的最大值及此时x的值；

（2）求函数f(x)的单调递减区间。

17、（本题满分12分）

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

纪念币	A	B	C	D
概率	1/2	1/2	a	a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。

（1）求概率p(ξ)

（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）为最大时，a的取值范围。

18、（本题满分12分）

如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）

（1）求证AP∥平面EFG；

（2）求二面角G-EF-D的大小；

（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明。

19、（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x,y），M（，0），若实数λ使向量，λ，满足λ²·（）²=·。

（1）求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

（2）当λ=时，过点A₁且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使ΔA₁BC为正三角形（请说明理由）。

20、（本题满分13分）

已知a为实数，函数f(x)=(x²+)(x+a)

（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；

（2）若f＇（-1）=0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x₁,x₂∈[-1，0]，不等式f(x₁)-f(x₂)≤m恒成立，试求m的最小值。

21、（本题满分14分）

已知函数与函数的图像关于直线对称．

（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；

（2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；

（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

高三年级数学模拟试题（文科）

参考答案及评分标准

一、选择题

1、当χ=-1，1，y∈B，所得元素之和为0，放A⊙B所有元素之和为0　选B

2、-1＞0＜00＜x＜1　 故选B

3、由a_n+1=+得a-2a_na_n+1+a=0　 ∴a_n+1= a_n

即｛a_n｝为常数列　　 S₁₀=10a₁=50　　　　  ∴选A

4、作出f(x)的图象，当0≤x＜时，f(x)=2tan3x,当＜x≤时，f(x)=0，由图象知f(x)为周期函数，最小正周期为，故选A。

5、D 由双曲线定义及点P（m,n）到原点的距离为可得：

e==＞1, ∴0＜λ＜1，故选D。（也可直接用解析法推导）

6、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a＜1，故选C。

7、四面体有四个顶点，6条棱有6个中点，每个面上6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有C个，点A在三个面内，共有3C；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3个点与这条棱对棱的中点共面，∴符合条件的个数有3C+3=33个，选B。

8、在直三棱柱ABB₁=DCC₁中，AC₁=

将△DCC₁展开与矩形ABCD在同一平面内，AP+PC₁最小，此时

AP+PC₁为，∴周长最小值为5+，故选A。

9、画出函数f(x)=-的图象，则a_n=表示曲线上动点（x_n、f(x_n)）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a₂＜a₃＜0＜a₁　　故选A

10、D，易知此双曲线为等轴双曲线，其一条对称轴y=x和它的交点为（2，2）、（-2，-2），于是实半轴长为2，由对称性知虚半轴长也为2，从而焦距为8。

二、填空题

11、T_r+1=(x)^n-r(-)^r,由题意知：-+=27n=9

∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。

12、当a＞1时，不等式化为10-a^x＞a,要使不等式有解，必须10-a＞0

∴1＜a＜10

当0＜a＜1时，不等式化为0＜10-a^x＜a10-a＜a^x＜10不等式恒有解

故满足条件a的范围是（0，1）∪（1，10）

13、∵0＜2B＜2π　 ∴2B=π或π　　故B=π或π

14、P=1-=

15、如图，连CO交AB于D点，∵PC⊥面APB，PO⊥底ABC

∴AB⊥面PDC，即AB⊥PD，∵ΔCPD为RtΔ

故由已知得： =+

=+，故M=N

三、解答题

16、解：（1）∵cos3x=4cos³x-3cosx，则=4cos²x-3=2cos2x-1

∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

=2sin(2x+)-1　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

在2x+=2kπ+时，f(x)取得最大值2-1

即在x=kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值2-1　 ……………………6分

（2）∵f(x)=2sin(2x+)-1

要使f(x)递减，x满足2kπ+≤2x+≤2kπ+

即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)

又∵cosx≠0，即x≠kπ+(k∈Z)　　　　　　　  ……………………10分

]

）

于是[kπ+，kπ+ ，（kπ+，kπ+ 均为减区间　…………12分

17、解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。

∴p(ξ=0)= (1-)²(1-a)²=(1-a)²

p(ξ=1)= (1-)(1-a)²+(1-)²·a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()²(1-a)²+(1-)a(1-a)+ (1-)²· a²=(1+2a-2 a²)

p(ξ=3)= ()²a(1-a)+ (1-) a²=

p(ξ=4)= ()² a²=a²　　　　　　　　　 ……………………6分

(2)∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

则p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a²)- =－≥0

由

，即a∈[]　　　…………………………12分

18、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG　 …………4分

（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC

∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD

过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知

∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，

故二面角G-EF-D的大小为45°。　　　　　　 …………………………8分

（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC

在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ　　　 ………………12分

19、解：_{（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),}

∵²（_）2=·_，∴²（x²-9）=x²-9+y²,

即P点的轨迹方程（1-²）x²+y²=9（1-²）…………………………3分

当1-²＞0，且≠0，即∈（-1，0）时，有_+=1，

∵1-²＞0，∴＞0，∴x²≤9。

∴P点的轨迹是点A₁，（-3，0）与点A₂（3，0）

当=0时，方程为x²+y²=9，P的轨迹是点A₁（-3，0）与点A₂（3，0）

当1-²＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为_{-=1，P点的轨迹是双曲线。　　　　　　　　  ……………………………………………………6分}

_当1-²_=0，即=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是射线。

（2）过点A₁且斜率为1的直线方程为y=x+3,

当=时，曲线方程为_+=1，

_{由（1）知，其轨迹为点A1（-3，0）与A2（3，0）}

_{因直线过A1（-3，0），但不过A2（3，0）。}

所以，点B不存在。

所以，在直线x=-9上找不到点C满足条件。……………………………………12分

20、解：（1）∵f(x)=x³+ax²+x+a,∴f1(x)=3x²+2ax+.

∵函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，∴f1(x)=0有实数解，∴△=4a²-4×3×3/2≥0, ∴a²≥9/2,因此，所求实数a的取值范围是（-∞，-）∪(,+∞).…………4分

(2)（I）∵f＇(-1)=0,∴3-2a+3/2=0,即a=9/4,f＇(x)=3x²+2ax+3/2=3(x+1/2)(x+1).由f＇(x) ＞0,得x＜-1或x＞-1/2,由f＇(x) ＜0,得-1＜x＜-1/2.

因此，函数f(x)的单调增区间为（-∞，-1]，[-1/2，+∞）；

单调减区间为[-1，-1/2]　　　　　　　　　　　  ………………………………8分

（ii）由（I）的结论可知，f(x)在[-1，-1/2]上的最大值为f(-1)=25/8,最小值为f(-1/2)=49/16,f(x)在[-1/2，0]上的最大值为f(0)=27/8，最小值为f(-1/2)=49/16，∴f(x)在[-1，0]上的最大值为f(0)=27/8,最小值为f(-1/2)=49/16。因此，任意的x1,x2∈[-1，0],恒有f(x1)-f(x2) ≤.故m_min=　　　　　　　　　　 ………………………………13分

21、解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，

，_{…………………………2分}

（2）因为点在函数的图像上，所以，

　　(*)

在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为： ①……6分

（3）直线的方程为：，，

在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，

=，结合①式可得：　　　　　  ②

由①可知：当自然数时，，，两式作差得：．

结合②式得： 　　　　③

在③中，令，结合，可解得：，

又因为：当时，，所以，舍去，得．

同上，在③中，依次令，可解得：，．

猜想：．下用数学归纳法证明．　　　　…………………………10分

（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．

（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：

把代入上式并解方程得：

由于，所以，，所以，

符合题意，应舍去，故只有．

所以，时命题也成立．

综上可知：数列的通项公式为_{…………………………14分}