高三届数学第二次诊断考试
（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1．答第Ⅰ卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目，用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在考题卷上。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
。
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合
，若
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 抛物线
的焦点坐标是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．随机变量
，记
，则下列式子中错误的是
（A）
(B) 
（C）
（D）
4． “a，b为异面直线”是指：
①
，且a与b不平行； ②a
平面
，b平面
，且；
③a平面
，b平面，且
； ④a平面，b
平面；
⑤不存在平面，能使a且b成立。
上述结论中，正确的是
（A）①④⑤正确 （B）①⑤正确 （C）②④正确 （D）①③④正确
5．若不等式
对于一切
恒成立，则实数
的取值范围
（A）
(B) 
（C）
（D）
6．复数
是纯虚数，则
的值是
（A）
(B) 1 (C) 
（D）
7．直线
的倾斜角是
(A)
（B）
（C）
（D）
8．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有
（A）12 （B）10 (C)9 （D）6
9．若二项式
展开式中含有常数项，则
的最小取值是
（A）5 （B）6 (C)7 （D）8
10．已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
11．数列
是一个单调递增数列，则实数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知
为
与
中较小者，其中
，若的值域为
，则
的值是
（A）0 （B）
（C）
（D）
高三届数学第二次诊断考试
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内项目填写清楚。
|
| 第Ⅰ卷 | 第Ⅱ卷 | 总分 | 总分人 | ||||||
| 题号 | 一 | 二 | 三 | |||||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||||
| 得分 |
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| 得分 | 评卷人 |
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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）
|
| 2 | 1 | 0 |
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13．随机变量
服从于如右表所示的分布列，其中
，则
的最大值为_______．
14．在
中，角
对应的边长为
，若
，则的形状是_____________三角形．
15．若函数是定义在实数集上的奇函数，且
，给出下列结论：
①
；②以4为周期；③的图象关于
轴对称；④
．
这些结论中正确的有____________（必须填写序号）．
16．过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线之一）某个焦点有一条弦AB，以AB为直径的圆与此焦点相应的准线没有交点，则该圆锥曲线的离心率取值范围是____________.
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
| 得分 | 评卷人 |
|
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17．（本题满分12分）
已知向量
，设
① 若
，求的值域.
② 若的图象可以按向量
平移后得到
的图象，指出向量的一个值.
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
18．（本题满分12分）
已知
是数列
的前项和，
，且
，其中
.
① 求数列的通项公式
；
② 计算
的值.
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
19．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，D为
的中点.
①
证明：平面
平面
；
②
求点
到平面的距离
；
③
求平面与平面
所成的二面角大小.
| 得分 | 评卷人 |
|
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|
20．（本题满分12分）
今有一张长2米宽1米的矩形铁板，如图，在四个角上分别截去一个边长为
米的正方形后，沿虚线折起可做成一个长方体水箱（接口连接问题不考虑）。
①
如果要使得水箱容积最大，则应取多少米？
②
若要使水箱容积不大于4
立方米的同时，又使得底面积最大以增加稳定性，应取什么值？
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
21．（本题满分12分）
已知直线
过椭圆E:
的右焦点
，且与E相交于
两点.
① 
设
（
为原点），求点
的轨迹方程；
② 若直线的倾斜角为
，求
的值.
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
22．（本题满分14分）
已知关于的方程
的两个根为
，设函数
.
① 判断在
上的单调性；
② 若
，证明
.
高三届数学第二次诊断考试参考答案与评分标准
一、 选择题：
ＢＣＤＢＡ ＣＢＣＣＤ ＡＤ
二、 填空题
13．1; 14．等腰; 15． ①②④; 16．
三、 解答题
17. 解：①
.........................2’
.............................5’
..................8’
②
....................10’
可见
的图象向左平移
个单位可得的图象，即的一个值是
.....．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12’
18. 解：①
.............................................2’
又也满足上式，
（
）
数列
是公比为2，首项为
的等比数列..................4’
.................................6’
②
...........................9’
于是
........................12’
19. 解：由勾股定理知，
，则如图所示建立直角坐标系，坐标分别为：
（1）
分别是
之中点。
故
，
面
，
平面
面。………………4分
（2）设平面
的法向量
，且
令
，又
则，设点到平面的距离为d
………………………………8分
（3）显然平面ABC的法向量为
，平面的法向量
，故两平面的夹角为
…………12分
20. ①易见该立方体底面长为
，宽
，高
所以，该立方体体积为
.............2’
其中正数满足
.................................3’
，..............................................5’
令
，但
，所以取
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减.
所以
，此时...............................8’
②由
，.......................................9’
此时的底面积为
（
）.......10’
这个二次函数开口向上且对称轴
，可知
在上单调递减
所以
时，可使为最大.....................................12’
21. 解：① 设
........1’
由
，易得右焦点
....................2’
当直线
轴时，直线的方程是：
，根据对称性可知
......3’
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为
代入E有
; 
........................5’
于是
;
消去参数
得
而也适上式，故R的轨迹方程是...............8’
②设椭圆另一个焦点为
，
在
中
设
，则
由余弦定理得
............9’
同理，在
，设
，则
也由余弦定理得
............11’
于是
.........................12’
注：其它方法相应给分.
22.解：①
....................3’
由于当
时
，
所以
，故在上是增函数.......................6’
②当时，并由①得
.................................7’
...............................................................................9’
................................11’
同理
............................................................................................................12’
于是
从而有.........................................14’