高三理复班（一.二）数学周考试题
温馨提示：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。” (2007.01.05) 总分150分
一、选择题
1．已知复数z1=3+i，z2=1-i，则复数z1·z2的虚部为
（A）2i （B）-2i （C）2 （D）-2
2．不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是
（A）-8≤b≤-5 （B）b≤-8或b＞-5 （C）-8≤b＜-5 （D）b≤-8或b≥-5
3．下列说法错误的是
（A）命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”
（B）“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
（C）若pÙq为假命题，则p、q均为假命题
（D）对于命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1<0”，则Øp：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，m∈N*，且
，则m等于
A．11 B．10 C．9 D．8
5．已知直线m、n和平面α、β，且m⊥α，nÌβ，给出下列四个命题：
①若α//β，则m⊥n； ②若m⊥n，则α//β；
③若α⊥β，则m//n； ④若m//n，则α⊥β．其中正确的命题是
（A）①④ （B）①③ （C）②③ （D）③④
6．已知定义在R上 的偶函数f（x）的单调递减区间为[0，+∞），则不等式f（x）<f（2-x）的解集是
（A）（1，2） （B）（1，+∞） （C）（2，+∞） （D）（-∞，1）
7．设椭圆的两个焦点为F1、F2，如果过点F1的直线被椭圆截得的最短线段MN的长为
，且ΔMF2N的周长为20，则椭圆的离心率为 （A）
（B）
（C）
（D）
8．有下面四个命题： ①“x=2kπ+
（k∈Z）”是“tanx=
”的充分不必要条件；
②函数f（x）=2cosx-1的最小正周期是π；③函数f（x）=sin（x+
）在[
，
]上是增函数；
④若函数f（x）=asinx-bcosx的图象的一条对称轴的方程为x=，则a+b=0．
其中正确命题的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9．已知
点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设
等于 A．
B．
C．
D．2
10．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么sinA·cos2（45°－
为
A．有最大值
和最小值0 B．有最大值，但无最小值
C．既无最大值也无最小值 D．有最大值，但无最小值
11.为了解湖中养鱼的多少，某人在湖中打了一网鱼，共m条，做上记号后放入湖中，数日
后又打了一网鱼，共n条，其中k条鱼有记号，估计湖中有鱼
A．
条 B．
条 C．m
D．无法估计
12.．正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，
则动点P的轨迹是
A．线段 B．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
二、填空题：
13．已知可导函数f（x）的导函数为
，且满足
，则
．
14．把函数
的图象沿向量
平移后得到函数
的图象，则向量可以是__________。
15．若正数
满足
，则
的取值范围是__________。
16．设函数
的定义域为
，若存在常数
，使≤
对一切实数
均成立，则称为
函数。给出下列函数：
①
；②
； ③
=
； ④
；
⑤是R上的奇函数，且满足对一切实数
、
均有
.
其中是函数的序号为 。
三、解答题：
17. 在ΔABC中，已知
（1）求证，a、b、c成等差数列； （2）求角B的取值范围。
18．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG=4，AG=
GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点． （Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离； （Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
的值．
19. 箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为
的卡片反面标的数字是
．（卡片正反面用颜色区分）（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．
20.设
的极小值为
,其导函数
的图像经过点
,如图所示,
（1）求的解析式；
（2）若对
都有
恒成立，求实数
的取值范围．
 |
21已知P是椭圆C：
上异于长轴端点的任意一点，A为长轴的左端点，F为椭圆的右焦点，椭圆的右准线与x轴、直线AP分别交于点K、M，
．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为6，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若
，求证：
．
22.数列
中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设
为的前n项和，并且存在n，使与
同时取得最小值，求
的取值范围；
（3）当
时，令
参考答案
一、选择题：
1．（D） 2．（C） 3．（C） 4．（B） 5．（A） 6．（B） 7．（D） 8．（B）9（C）
10.（B） 11.（B） 12.（B）
二．填空题：（13）6、（14）
、（15）
、（15）、（16）①②④⑤
17. 解：（1）由条件得：
∴a、b、c成等差数列 ……6′
（2）
……10′
……12′
18．解：方法一：
（Ⅰ）解：以G点为原点，直线GB、GD、GP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）， ……1分
故E（1，1，0），且
=（1，1，0），
=（0，2，4）． ……2分
设直线GE与PC所成的角为θ，则
cosθ=
=
，
所以GE与PC所成的角的余弦值为
． ……4分
（Ⅱ）解：平面PBG的一个法向量n＝（0， 1，0）． ……5分
又
， ……6分
所以点D到平面PBG的距离为
n ＝
． ……8分
（Ⅲ）解：设F（0，y，z），则
．
∵
，∴
，即
，
解得y=
． ……10分
又F在PC上，所以可设
，则（0，，z-4）＝λ（0，2，-4），
∴z=1． ……12分
故F（0，，1）．
所以
，
∴
． ……14分
方法二：
（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH∥EG，交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角． ……2分
在△PCH中，CH=
，PC=
，PH=
，
由余弦定理得，cos∠PCH＝
．
所以GE与PC所成的角的余弦值为． ……4分
（Ⅱ）∵PG⊥平面ABCD，PGÌ平面PBG，∴平面PBG⊥平面ABCD．
在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG，所以DK的长就是点D到平面PBG的距离． ……6分
∵BC=
，GD=
AD=BC=
，
所以在△DKG中，DK=DGsin45°=，
∴点D到平面PBG的距离为． ……8分
（Ⅲ）在面PGC内，过F作FM⊥GC于M，由平面PGC⊥平面ABCD，得FM⊥平面ABCD ，∴FM∥PG． ……10分
∵DF⊥GC，∴DM⊥GC，故GM=GD·cos45°=． ……12分
所以
． ……14分
19．解：（1）由不等式
，得
……（3分）
由题意知
，即共有2张卡片正面数字大于反面数字，
故所求的概率为
．
答：所求的概率为．
……（6分）
（2）设取出的是第号卡片和号卡片（
），
则有
……（8分）
即
，由得
……（10分）
故符合条件的取法为1，11；2，10；3，9；4，8；5，7．
故所求的概率为
．
答：故所求的概率为
．
……（12分）
20. 解：（1）
，且
的图像经过点
,
，
……（2分）
，
由图像可知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，
……（3分）
∴
，解得
……（5分）
∴
……（6分）
（2）要使对
都有
恒成立，
只需
即可．
……（7分）
由（1）可知函数在
上单调递减，在上单调递增，
在
上单调递减，
且
，
，
……（10分）
故所求的实数的取值范围为
．
……（12分）
21. （Ⅰ）解一：由
得，
，
，………………………2分
∴ 
，…………………………………………………………………4分
从而椭圆方程是
．…………………………………………………………6分
解二：记
，由，
得
，
∵
，∴ 
，………………………………………………………2分
又
，
，∴ ，…………………………………………4分
从而椭圆方程是． ………………………………………………………6分
（Ⅱ）解一：点
同时满足
和
消去
并整理得：
，此方程必有两实根，一根是点
的模坐标
，另一根是点
的模坐标
，
，
，
∴ 
，
∴ 
，
由
代入上式可得
．
∴ 
．
．
解二：由（Ⅰ），，可设
，
，则
，
椭圆方程可为
，即
，
设直线AM的方程为
（
存在且
），
代入，
整理得
，
此方程两根为A、P两点的横坐标，
由韦达定理
，
∴ ，从而
．
由于
=
，
，
∴ ．．
22. （1）∵
∴
两式相减得
∴{an}的奇数项与偶数项分别构成公差为3的等差数列，
当n为奇数时，
当n为偶数时，
∴
（2）当n为偶数时，∵
∴
当n为奇数时，
若n为偶数，则
；
若n为奇数，则
∵
在n=18时取得最小值，
∴对于任意的n∈N*，
∴
（3）当
∴
