高三理科数学模拟试卷
Y本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分为150分，考试时间为120分钟。第I卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷共90分，包括填空题和解答题两种题型．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．A 
， 而
，
得
2．设
则
的关系是( )
A．
B．
C．
D．无法确定
2．A 
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．
是有理数 B．
是实数
C．
是有理数 D．集合
是实数集
的真子集
3．B 属于无理数指数幂，结果是个实数；
和都是无理数；
4．若
且
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．B 
而
，
5．已知向量
，向量
，则
的最大值，
最小值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．D 
，最大值为
，最小值为
或结合向量的几何意义使用数形结合来做
6．在等差数列
中，若
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．A 
而
成等差数列
即
7．过圆
外一点
，引圆的两条切线，切点为
，
则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．B．设切点为
，则
的方程为
的方程为
，则
8．若抛物线
上一点
到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．B 点到准线的距离即点到焦点的距离，得
，过点所作的高也是中线
，代入到得
，
9．在正三棱锥
（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，
,过
作与
分别交于
和
的截面，则截面
的周长的最小值为（ ）
A．
B． C．
D．
9．C沿着
将正三棱锥侧面展开，则
共线，且
，利用三角形相似，得
10．如图是函数
的大致图象，则
等于（
）
|
A．
B．
C．
D．
|
|
|
10．C 函数图象过点
，得
，则
，
，且
是
函数的两个极值点，即是方程
的实根
11．关于
的方程
有实根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．D 令
，则原方程变为
，
方程有实根的充要条件是方程在
上有实根
再令
，其对称轴
，则方程在上有一实根，
另一根在以外，因而舍去，即
12．在
的展开式中的常数项是（ ）
A.
B．
C．
D．
12．A 
令
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.）
13．若函数
，且
则
___________。
13．
显然
，令
为奇函数
或者13. 函数
在区间
上的最大值是
。
13．
，比较
处的函数值，得
14. 在
件产品
中有件是次品，从中任意抽了
件，至少有
件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.
14. 
件次品，或件次品，
15. 下列各数
、 
、 
、 
，其中最小的数是____________。
15. 
、 
、
、 
16．不等式
的解集是_______________。
16．
三．解答题：
17．（本题满分12分）平面向量
，若存在不同时为的实数
和
，使
且
，
（1）试求函数关系式
;
（2）并求该函数的单调递增区间.
17解：（1）由得
（2）
，
令
，得
所以单调递增区间为
18.（本题满分12分）求和：
18．解：记
当
时，
当
时，
∴原式=
19.（本题满分12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为
，被甲或乙解出的概率为
，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数
的数学期望和方差
19．解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为
.
设甲独立解出此题的概率为
，乙为
.
则
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20.（本题满分14分）如图，在长方体
，中，
，点在棱
上移动.（1）证明：
；
（2）当为
的中点时，求点到面
的距离；
（3）
等于何值时，二面角
的大小为
.
|
20．解：以为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，则
（1）
（2）因为为的中点，则
，从而
，
，设平面的法向量为
，则
也即
，得
，从而
，所以点到平面的距离为
（3）设平面
的法向量，∴
由
令
，
∴
依题意
∴
（不合，舍去），
.
∴
时，二面角的大小为.
21.（本题满分14分）已知椭圆
，试确定
的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线
对称。
21．解：设
，的中点
，
而
相减得
即
，
而在椭圆内部，则
即
。
四．选答题：（10分，从下列三题中选答一题，多选则去掉一个得分最低的题后计算总分）
22．过点
作倾斜角为
的直线与曲线
交于点
，
求
的值及相应的的值。
22．解：设直线为
，代入曲线并整理得
则
所以当
时，即
，的最小值为
，此时。
23．已知
，且
求证：
23．证明：显然
是方程
的两个实根，
由
得
，同理可得
，
24．如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Ｑ，过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，求证：RP=RＱ
24．证明：连接OQ，∵OQ=OB
∴∠OBP=∠OQP
又∵QR为⊙O的切线
∴OQ⊥QR
即∠OQP+∠PQR= Rt∠
而∠OBP+∠OPB= Rt∠
故∠PQR=∠OPB
又∵∠OPB与∠QPR为对顶角
∴∠OPB=∠QPR
∴∠PQR=∠QPR
∴RP=RQ