高三理科数学试题(3)

高三理科数学试题(3)

　　　 总分150分

一、选择题（共50分）

1、已知等比数列的前n项和为，则a₁₆+ a₁₇+ a₁₈+ a₁₉+ a₂₀ =(　　)

A、8　　　　　　　 B、12　　　　  C、16　　　　　　　 D、24

2、设复数，则的展开式的第5项是（　 ）

A、　　　　　  B­、35　　　　 C、　　　　　 D­、

3、定义那么T_n的值为（　　 ）

Ａ、　 　　　　　 Ｂ、1　　　　  Ｃ、　　　　　　　  D、0

4、已知的值为（　）

A、　　　　　 B、0　　　　　　  C、 5　　　　　　　　 D、与的值有关

5、设，则下列结论中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　C．　　　　　　　　　　　　　　D．

6、定义在R上的函数不恒为零，且满足（　　 ）

A、是奇函数，是也周期函数　　　　　　 B、是偶函数，是也周期函数　　　　

C、是奇函数，但不是周期函数　　　　　 D、是偶函数，但不是周期函数　

7、能够使圆C：上恰有两个点到直线的距离等于1的的一个值是（　　 ）

A、2　　　　　　　 B、　　　　　　　 C、3　　　　　　　　 D、　

8、某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数是 （　　）

A、42　　　　　　  B、30　　　　　  C、20　　　　　　　  D、12

9、已知A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（　　）

A、　　　 Ｂ、　　　　 Ｃ、　　　　 D、　

10、已知集合A、B、C满足：，则下列结论中一定正确的是（　　 ）

A、B=C　　　　  B、AB= AC　　　C、 AC_UB= AC_UC　 D、C_UAC= C_UAB

二、填空题（共20分）

11、若，则直线过定点　　　　　 。

12、已知　　　　　  。

13、如图，　　　　　　　　　　　　　 y　 P

点，点P在椭圆上，则　　　　 F1　　O　F2　　　　　 x

椭圆的离心率为　　　　　  。

14、已知在同一平面上，三向量所成的角均相等，且 则

 　　　　　　　　　　　  。　

15、直角三角形ABC的斜边AB在平面内，AC和BC与平面所成的角分别为30°和45°，CD是AB边上的高，则CD与所成的角为　　　　　 。

三、解答题（12′+13′+13′+14′+14′+14′，共80分）

16、已知的值.

17、已知正四面体A—BCD，有一只小虫自顶点A沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B、C、D，然后又从B、C、D中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点，依次进行下去。记P_n为第n次到顶点A的概率。

⑴ 求P_n的通项公式；

⑵ 求2006次爬到顶点A的概率.

18、已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

19.如图，在正方体中，E为AB的中点。

（Ⅰ）求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值

（Ⅱ）求二面角 A₁—EC—A的大小.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20、已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点，A和B满足（其中O为原点），求的范围。

21、已知数列是由正数组成的等差数列，是其前项的和，并且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求使不等式对一切均成立的最大实数；

（3）对每一个，在与之间插入个，得到新数列，设是数列的前项和，试问是否存在正整数，使？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

《参考答案》

一、选择题

CBABA　　　BCADD

二、填空题

11、（）　　12、2　　 　13、　　  14、49或　　 15、60°

三、解答题

16、解：由

　　　　　　　　　　　　　　 

得　　又

于是　

　　　

17、解：⑴由于第n次到顶点A是从B、C、D三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点

达到A的概率都是，而第n－1次在顶点A与小虫在顶点B、C、D是对立事件。

因此，，∴

∴

⑵ P=(－)+

18、解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

　　 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

　  （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

　　 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，

又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]

上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．　　

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7

19、解（Ⅰ）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使CG=　 DC,连结BD、　　

　　　　  ，∴四边形EBGC是平行四边形.

∴BG∥EC.　 ∴

在

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

即异面直线　　与CE所成角的余弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）过　　作　　　　  　　交CE的延长线于H.连结AH.　∵　　 　　平面ABCD，∴AH是　　在平面ABCD内的射影.∴AB⊥CH.

则　　　 　为二面角　　　　　 　　 的平面角

底面ABCD如图所示.

由于∠AHE=∠B=90°，∠AEH=∠CEB，则△AHE∽△CBE

 

则二　　　　　　 　角的大小为　　　　　　　　　　　　　

20、解：（1）设双曲线的方程为则

再由得，故的方程为

（2）将代入得，得

，由直线与恒有两个不同的交点，得：

，即①

将代入，得

，由直线与恒有两个不同的交点，得：

即且②

设，则

由得，而

，

即，解得③

由①、②、③得：

故K的取值范围为：。

21、解:(1)设的公差为，由题意，且

，

数列的通项公式为　　　　　　　　　　　

(2)由题意对均成立　　　

记

则

，随增大而增大　　　　　

的最小值为

，即的最大值为　　　　　　　　　　

(3)

在数列中，及其前面所有项之和为

　　　　 

，即　

又在数列中的项数为：　　　　　　

且

所以存在正整数使得