高三第九次考试数学试题（理科）
一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）
1、定义集合M与N的新运算，M+N=
或
且
，则(M+N)+N等于（ ）
A、
B、
C、M D、N
2、已知
，且ab<0，则
是复数
为纯虚数的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3、已知曲线
与函数
和
分别交于
，
两点，则
的值为（ ）
A、1 B、2 C、
D、3
4、函数
图象如右图，则函数
的单调递增区间为（ ）
A、
B、
C、
D、
5、已知函数
的最大值为2，则
的最小正周期为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、已知直线
平面
，直线
平面
，有下列四个命题：
①
；②
；③
；④
其中正确命题是：（ ）
A、①② B、③④ C、②④ D、①③
7、已知0为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组
，则
的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、0
8、湖南师大数学教育专业6名青年志愿者，为响应团中央发起的中国青年志愿者扶贫活动计划，志愿到湘西自治州的永顺、古丈、凤凰三地任教五年，则一县4名，另两县每县一名的概率为（ ）
A、
B、
C、
D、
9、过正三棱锥S-ABC的侧棱SB和底面ABC的中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A、
B、
C、或
D、或
10、设
表示a，b，c中的最小值），则y的最大值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
二、填空题（每小题5分，5小题，共25分）
11、在
的展开式中，
的系数为
（用数字作答）。
12、椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，若线段F1F2恰好被两抛物线
的焦点及顶点四等分，则椭圆的离心率为
。
13、设
，要使函数在
内连续，则a的值为
。
14、由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列
中找出一个无穷等比的子数列，使它们所有项和为
，这个数列的通项公式为
。
15、下列四个命题：是否需要在“ ”处添加一个条件才能构成真命题？如需要，请填写这个条件，如不需要，请把“ ”用“/”划掉（全部正确得5分，漏一个或错一个得0分）
①
； ②
；
③
；
④
三、解答题（本大题有6道小题，满分75分）
16、（本题满分12分）如图，从原点O引向量
，使其与
x轴的夹角为
，从它的终点引向量
，使其与的夹角为
，同样引向量
，使其与
夹角为，设
（1）用a及表示C点的坐标；
（2）若点C落在y轴上，求此时的值（
）
17、（本题满分12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝
，其中A的各数位中，
，
出现0概率为，出现1的概率为
，例如A=10011，其中
，
，设
，当启动仪器一次时，求：
（1）
的概率。
（2）
的数学期望。
18、将如图（1）的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（2）所示
（1）求异面直线BD与EF所成的角大小。
（2）求二面角D-BF-E的大小。
（3）求证：A、B、C、D、F这五个点在同一球面上，并求该球的表面积。
19、（本题满分12分）已知函数
（1）若
，求
的极值；
（2）若
在定义域内单调递减，求实数k的取值范围。
20、（本题满分13分）已知数列
中，
，且
是函数
的一个极值点。
（1）求数列
的通项公式；
（2）若点Pn的坐标为
，过函数
图象上的点
的切线始终与
平行（点O为坐标原点）；求证：当
时，不等式
对
成立。
21、（本题满分14分）如图所示，O是线段AB的中点，AB＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中
。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。
参 考 答 案
1、C 2、C 3、D 4、D 5、C 6、D 7、A 8、B 9、C 10、A
11、－14 12、 13、 14、
15、①
②
（或
与
垂直） ③/ ④（4，0）
16、解：（1）
（6分）
（2）由已知
即
∴
∵，∴
∴
（12分）
17、解：（1）∵，∴表示
中出现2个1，2个0。
∴
（4分）
（2）的可能取值1，2，3，4，5
，
，
，
，
（9分）
（12分）
18、解：（1）60° （4分）
（2）90° （8分）
（3）易知BF中点H为球心。
即HA=HB=HC=HD=HF=
∴
（12分）
19、解：（1）
由
又定义域为
∴
时，
，即在
时，
，即在
，∴极大值为
（6分）
（2）
，定义域为（0，+
），
且
在（0，+），上恒成立。
记
，则
，由
，得x＝e（8分）
∴当
时，
为增函数；
当
时，
为减函数。
∴当x＝e时，
取得最大值
。
为使
在（0，+）上恒成立，则
恒成立，
∴
，当
时，只有一点x＝e使得
，不影响
的单调性，
∴
（12分）
20、解：（1）
∴
∴
∴
，…
∴
，∴
（4分）
时，
∴
综上 
（5分）
（2）由
得
∴
∵
，
∴
∴
21、解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（－c，0），B（c，0）
依题意：
∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为
的双曲线右支
∴轨迹方程为：
。（6分）
（2）法一：设M（
，
），N（
，
）
依题意知曲线E的方程为
，l的方程为
（7分）
设直线m的方程为
由方程组
，消去y得
①
∴
（9分）
∵直线
与双曲线右支交于不同的两点
∴
及
，从而
（10分）
由①得
解得
且
当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴
（11分）
又设M到l的距离为d，则
∵
∴
设
，
（12分）
由于函数
与
均为区间
的增函数
∴
在单调递减
∴的最大值＝
（13分）
又∵
而M的横坐标，∴
（14分）
法二：
为一条渐近线
①m位于
时，m在无穷远，此时
（9分）
②m位于
时，
，d较大
由
（12分）
点M
∴
（14分）
故 