高级中学高三数学周练(8)
1．已知向量
，
，则向量
与
A．互相平行
B．互相垂直
C．夹角为
D．夹角为
2．已知
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，当
时，代数式
的值是
A．正数 B．负数 C．
D．介于
与之间
4．“神六飞天，举国欢庆”，据科学计算，运载“神州”六号飞船的“长征”二号系列火箭在点火1分钟通过的路程为
，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加，在达到离地面
的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是
A．
分钟
B．
分钟
C．
分钟
D．
分钟
5．条件
：“直线
在
轴上的截距是在
轴上的截距的两倍”；条件
：“直线的斜率为
”，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件
6．设函数
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
7．若实数、、
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．已知三个不等式：
（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9．图像
与函数
的图像关于
A．直线
对称 B．点
对称 C．直线
对称 D．点
对称
10．直线与圆
相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于
，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
A．
B．
C．
或
D．或
11．
的三个内角分别为
、
、
，若
和
是关于的方程
的两实根，则
．
12．在中，
为中线
上一个动点，若
，则
的最小值是
．
13．已知实数、满足约束条件
，目标函数
只有当
时取得最大值，则
的取值范围是
．
14．要得到
的图像，且使平移的距离最短，则需将
的图像
即可得到．
15．已知正数x、y满足x＋2y＝1，则
的最小值是
.
16．已知函数
，若
，且
，则
的取值范围为 ．
17．在中，角、、所对的边是、
、
，且
．（1）求
值 ；（2）若
，求面积的最大值．
18．已知函数
满足
(1)求函数解析式及定义域; (2)求函数的反函数
; (3)若
，求x的取值范围.
19．（本小题共14分）已知两点
，且动点
使
，
，
成等差数列．
（1）求点的轨迹；
（2）设、分别是直线
与
上的两点，且
是直线
的方向向量，直线与曲线相切，当
是以为底边的等腰三角形时，求
的值．
20．（本小题共14分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间
(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式
；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于
微克时,治疗有效.
①求服药一次后治疗有效的时间是多长？
②当
时,第二次服药,问
时药效能否持续？
21．设Sn是数列
的前n项和，且
．
（1）求数列的通项公式;（2）设数列
使
，求的通项公式；
（3）设
，且数列
的前n项和为Tn，试比较Tn与
的大小．
高三数学周练(8)答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2． C 3．B 4． C 5． B 6． C 7． D 8．C
9．B 10． A
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
11．
12． 13．
14．向左平移
单位
15．
16．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题共12分）在中，角、、所对的边是、、，且．
（1）求值 ；
（2）若，求面积的最大值．
（1）
，
， 
2分
由
，
；6分
（2），且，
，
又
，
，
9分
．
11分
当切仅当
时，面积取最大值，最大值为
． 12分
18． （1）设t＝x－3，则x＝t＋3.
∵ 
∴
…………1分
∵ 
，∴
由
得
…………2分
于是
且定义域为[0，2].
…………1分
（2）设y＝ 则
，即
，
∴
.
…………2分
∵
∴
，∴ 
从而
.
故函数的反函数为（
）.
…………2分
（3）
19．（本小题共14分）已知两点，且动点使，，成等差数列．
（1）求点的轨迹；
（2）设、分别是直线与上的两点，且是直线的方向向量，直线与曲线相切，当是以为底边的等腰三角形时，求的值．
（1）设
，由
，得
，
，3分
于是，，，成等差数列等价于
6分
所以点
的轨迹是以原点为圆心，
为半径的圆；
7分
（2）设直线的方程为
，
、
，
直线与曲线相切，
，即
①， 9分
由
，同理
，
的中点
，
10分
是以为底边的等腰三角形，
，即
②，
12分
由①②解得
．
14分
20．（本小题共14分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时,治疗有效.
①求服药一次后治疗有效的时间是多长？
②当时,第二次服药,问时药效能否持续？
⑴当 
时，
，
此时
在曲线上,所以
，
2分
4分
⑵①因为
， 7分
所以服药一次治疗疾病的有效时间为
8分
②设
，
小时第二次服药后,血液中含药量
为第二次产生的含药量
微克以及第一次的剩余量
， 11分
只要说明当时，
即可说明药效持续，否则不持续。
利用单调性的定义可证明
在上是增函数。13分
故
,因此当时第二次服药, 药效持续． 14分
21. ∵，∴
，
于是an＋1＝Sn＋1－Sn＝（2 an＋1－2）－（2 an－2），即an＋1＝2an. …………2分
又a1＝S1＝2 a1－2, 得a1＝2. …………1分
∴是首项和公比都是2的等比数列，故an＝2n.
…………1分
(2) 由a1b1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a1＝2得b1＝3. …………1分
当
时，
，
∴
.
…………2分
∵an＝2n，∴bn＝2n＋1（）.
∴
（3）
.
.