高考数学模拟考试
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．
1．设全集为R，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．椭圆
的准线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
展开式中的常数项是
（ ）
A．12
B．
C．6
D．
4．已知命题
，则
是
(
)
A．
B．
C．
D． 
5．
＝
( )
A．0 B．
C．2 D．4
6．公差不为零的等差数列
中，有
，数列
是等比数列，且
，则
( )
A．2 B．4 C．8 D．16
7. 在长方体
中，
为
上任意一点，则一定有
A．
与平面
相交 B．与平面平行
C．与
垂直
D． 与
异面
8．某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以
输出的函数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7个小题,分必做题和选做题，每小题5分，共30分．
9.
10．某校为了了解高三年级学生的身体状况，现用分层抽样的方法，从全段600名学生中抽取60名进行体检，如果在抽取的学生中有男生36名，则在高三年级中共有女生 名。
11．已知变量
、
满足条件
，若目标函数
（其中
）仅在
（4，2）处取得最大值，则
的取值范围是________.
12．已知一个函数
满足:①定义域为
;②对任意的
, 若
, 则
;③对任意的
, 若
, 则
, 则可以是
（写出一个即可）
选做题：考生可从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分。
13.如图甲，四边形
是等腰梯形，
．由4个这样的等腰梯形可
以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形中
度数为
14.点
在直线
上运动，则直线
与抛物线
所围成的图形的面积是 ________
15. 函数
的最大值是
三、解答题：共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）已知函数
⑴
求
的最小正周期和值域；
⑵
将的图像先向右平移
个单位，再向下平移
个单位后得到函数
的图像，求在
上的单调递增区间.
17、（本小题满分12分） 中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在广东队和八一队之间举行，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场则此队获胜，比赛结束。因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，根据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场门票收入都比上一场增加10万元，当两队决出胜负后，问：
（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入为250万元的概率；
（2）求此次决赛中决出胜负所需场数的分布列与期望
18.（本题满分14分）
如图：
平面，四边形是矩形，
，
与平面所成的角是
，点
是
的中点，点
在边
上移动.
（1）当点为的中点时，试判断
与平面
的位置关系，并说明理由；
（2）证明：不论点在边上何处，都有
；
（3）
等于何值时，二面角
的大小为
.
19．（本小题满分14分）对于函数
(1)
若函数
在
处的切线方程为
,求
的值.
(2) 设
是函数
的两个极值点,且
,证明:
.
20. (本小题满分14分)
已知：过抛物线的焦点
的动直线交抛物线于
两点, 存在定点, 使得
为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
21.（本题满分14分）设
（
为常数，且
），
，
，(
).
（1）求
的值；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列的前
项和为
，
，
，试比较
与
的大小.
高考数学模拟考试评分参考
1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．D 7. B 8．D
9. 
10．240 11. 
12．，等等
13．
14．
15. 5
16．解：（1）
…………4分
…………6分
（2）依题意，平移后的函数
…………10分
所以 
在
上的递增区间是
…………12分
17.解：设决出胜负所需场数为
（1）组织者要获得250万元门票收入，即需比赛五场决出胜负。
由题意可得其概率为
…………5分
（2）依题意可知
；
； 
…………9分
组织者在此次决赛中决出胜负所需场数的分布列为：
|
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| P |
|
|
|
|
…………12分
18.解：（1）当点为的中点时，与平面平行.
∵在
中，、分别为、的中点
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）证明（略证）：易证
平面
，又是
在平面内的射影，
，∴
. ……………………8分
(3)∵与平面所成的角是，∴
，
，
.
过
作
于
，连
，则
.
…………………10分
易知：
，
，设
，则
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则
，
，
，
.
设，则
∴（本小题4分）
（3）设平面
的法向量为
，由
，
得：
，
依题意
，∴
，
得.（本小题6分）
19.解：⑴由切点为
，
，有
解得：
…………6分
⑵由题，
、
是方程
的两个根，
可得两根一正一负，
不妨设
.…………8分
设
；…………10分
……11分； 当
时，
.
………12分
所以当
时，
，即
. ……14分
20．解: 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆
的一个焦点的动直线l交椭圆于
、
两点, 存在定点
, 使
为定值. ……………4分
证明: 不妨设直线l过椭圆
的右焦点
其中
若直线l不垂直于轴, 则设其方程为: 
, 
.
由
得:
所以
……………8分
由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为
所以
要使为定值,
只要
即
此时
……………12分
若直线l垂直于x轴, 则其方程为
, 
, 
.
取点
,有
…………13分
综上, 过焦点
的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点
使
为定值. ……………14分
21.解：（1）
，
……………………1分
=
.
……………………4分
（2）
，
……………………5分
，………7分
∴数列是
为首项，
为公比的等比数列. ……………………8分
（3）由（2）知
， Sn =
， ……………9分
=
∵0<<1，∴>0，
，0<
<1，
，
∴
，
……………………11分
又当
时，
，∴
， ……………………13分
∴
<.……14分