高考数学预测试题（理科）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）＝P（A）+P（B） S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）＝P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 其中R表示球的半径
率
第 I卷 （选择题 共40分）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设集合
≤x≤2},B={x0≤x≤4},则A∩B=
A．［0,2］ B．［1,2］ C．［0,4］ D．［1,4］
2．已知
A．1+2i B． 1–2i C．2+i D．2–i
3．已知0＜a＜1，
，则
A．1＜n＜m B． 1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
4．若
是第二象限的角，且
，则
A．
B． 
C． 
D． 
5．等差数列
中，
，那么
的值是
A． 12 B． 24 C ．16 D． 48
6．三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝
，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为
A． 300 B． 450 C．600 D．900
7． 已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是
A．a=b, b=a B．a=c, b=a, c=b C．a=c, b=a, c=a D．c=a, a=b, b=c
8．已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与
圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为
A．
B．
C．
（x > 0） D．
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的5位数，其中奇数有 个。
10．二项式
的展开式的常数项是__________.
11．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此
球的表面积为 .
12．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线
相切的直线方程是 ．
13．圆C：
（
为参数）的普通方程为__________，设O为坐标原点，
点M（
）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________________。
14．设函数
,给出以下四个论断：
①
的周期为π； ②在区间（-
,0）上是增函数；
③的图象关于点（
,0）对称； ④的图象关于直线
对称.
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
（只需将命题的序号填在横线上）．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
已知函数
（I）证明：函数
是奇函数；
（II）求的单调区间。
16．（本小题满分12分）
已知 
＝1，
＝
，（I）若//，求
； （II）若，的夹角为135°，求 ＋ ．
17．（本小题满分14分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
18．（本小题满分14分）
已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：
（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
19．（本小题满分14分）
如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(Ⅰ)设点P分有向线段
所成的比为λ，证明
(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
20．（本小题满分12分）
把正奇数数列
中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1
3 5
7 9 11
— — — —
— — — — —
设
是位于这个三角形数表中从上往下数第
行、从左往右数第
个数。
（I）若
，求
的值；
（II）已知函数的反函数为
，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为
，求数列
的前n项和
。
高考数学预测试题（理科）答案
班级： 姓名： 座号： 成绩：
一、选择题（每小题5分，共40分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | A | C | A | D | B | D | D | B |
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 36 ；10． –540 ；11． 9π ；12．16x-8y+25=0 ；
13． 
，
；14． ①④
②③ 或 ①③②④ 。
三、解答题（共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
解：（I）证明：显然的定义域是R。设任意
，
， 4分
函数是奇函数 6分
（II）解：
， 8分
令
，由
，解得
10分
由此可知，当时，，
所以函数的单调增区间是（-1，1）； 12分
当
或
时，
，
所以函数的单调减区间分别是（
，-1），（1，
） 14分
（写出的区间，无论是否包含端点均可给分。）
16．（本小题满分12分）
（I）∵//，
①若，共向，则 ＝•＝ ………………… 3′
②若，异向，则 ＝－•＝－ ……………… 6′
（II）∵，的夹角为135°， ∴ ＝••cos135°＝－1 …… 8′
∴＋2＝（＋）2 ＝2＋2＋2＝1＋2－2＝1 ………… 11′
∴
……………………………………12′
17．（本小题满分14分）
方法一：
（I）证明：连结OC
在
中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在
中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在
中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角
的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离
18．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为
故有一组恰有两支弱队的概率为
解法二：有一组恰有两支弱队的概率
（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 
解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为
19．（本小题满分14分）
解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为
,代入抛物线方程
得
①
设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以
由点P（0，m）分有向线段
所成的比为
，
得
， 即
又点Q是点P关于原点的以称点，
故点Q的坐标是（0，--m）,从而
=
=
=
=
=0，
所以
(Ⅱ) 由
得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。
由得
， 
所以抛物线在点A处切线的斜率为
。
设圆C的方程是
，
则
解之得 
所以圆C的方程是
，
20．（本小题满分12分）
解：（I）
三角形数表中前
行共有
个数，
第行最后一个数应当是所给奇数列中的第
项。
故第行最后一个数是
2分
因此，使得的m是不等式
的最小正整数解。
由得
于是，第45行第一个数是
4分
（II）
，
。
故
6分
第n行最后一个数是
，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故
。
8分
故
，
两式相减得：
10分
12分