一元二次不等式的解法
一、学习目标
1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。
二、例题
第一阶梯
例1什么是一元二次不等式的一般式？
【解】一元二次不等式的一般式是：
ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)
【评注】
1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。
2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成
了“a＞0”。
例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？
【点拨】用函数的观点来回答。
【解】
二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不
等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方
程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。
【评注】
二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，
并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次
不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。
例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。
【解】一元二次不等式的解集表：
| 记忆图 | | ||
| 分类 | △＞0 | △=0 | △＜0 |
| ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 | （－∞，x1）∪（x2,＋∞） | （－∞，x0）∪（x0，＋∞） | R |
| ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 | (x1，x2) |
|
|
【评注】
1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。
例4、写出一元二次不等式的解法步骤。
【解】一元二次不等式的解法步骤是：
1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。
2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
例：解不等式 x+2＞3x2
解：原不等式等价于
3x2－x－2＜0
解方程3x2－x－2=0得二根：
，x2=1。
∴原不等式的解集为（
，1）。
第二阶梯
例1、解下列不等式：
（1）2+3x－2x2＜0；
（2）－x2+2x－3x＞0；
（3）x2－4x+4＞0
【解】（1）原不等式等价于2x2-3x-2>0
由2x2－3x－2=0得
，x2=2.
∴原不等式的解集是
（2）原不等式等价于:x2-2x+3<0
由△=
＜0，知原不等式解集为
。
（3）△=
，方程
有等根
，
∴原不等式的解集为{xx∈R，且x≠2}。
【评注】
1.要严格按“解法步骤”求解。
2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，
该题的解集也可用区间表为
，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。
例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0
【探路】化为一元二次不等式来解。
【解】∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0
∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，
∴原不等式等价于
(1+x)(2-x)＞0
＜0
－1＜x＜2
∴原不等式的解集为（－1，2）。
例3、设全集为R，已知A={
}，求
。
【探路】解不等式化简集合A。
【解】
，……（1）
方程2x2-x-1=0的两根为
∴不等式①的解集为[
，1]，
∴A=[，1]
∴
例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。
【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。
【解】已知方程有两个负根的等价条件是
∴m的取值范围是（
]∪[1，＋∞）
【评注】
1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的。又若只列成△≥0也
是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件。
2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。
第三阶梯
例5、已知A=
，B=
。
（1）若B
A，求a的取值范围；
（2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围。
【探路】先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。
【解】解不等式
得A=[1，2]；而B={
≤0}。
（1）若BA，如图1，得a的取值范围是1≤a＜2。
（2）若A∩B是单元素集合，如图2，A∩B只能是集合{1}
∴a的取值范围是a≤1。
【评注】
集合B的最简表示只能是B={
}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的
区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间。
例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2＜0(a∈R)。
【探路】先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集。
【解】解方程2x2-5ax-3a2=0，得
当a＞0时，
＜3a，原不等式的解集是（，3a）；
当a＜0时，＞3a，原不等式的解集是（3a，）；
当a=0时，=3a=0，原不等式的解集是。
【评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，
进而确定相应的解集。
例7已知
（且b＞0）的解集为{x－1≤x≤2}，求实数a，b的值。
【探路】将不等式ax+3≤b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。
【解】
∴关于x的二次不等式
（a2＞0)的解集为[－1，2]。
∴－1和2是方程
的二根
∴
解得
；或
∵b＞0，舍去后一组解。
∴a=-6,b=9
【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。
三、练习题
A组
1.不等式x(x+1) ＞x(x+1)的解集是（ ）
（A）（－∞，－1）∪（－1，+∞） （B）（－1，+∞）
（C）（－∞，－1）∪（－1，0） （D）（－1，0）
2.不等式42x2+ax＜a2（常数a＜0）的解集是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.不等式
＜0的解集是（ ）
（A）（0，3） （B）（－3，0） （C）（－3，3） （D）R
4.若关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为，那么（ ）
（A）a＜0，且b2－4ac＞0 （B）a＜0，且b2－4ac≤0
（C）a＞0，且b2－4ac≤0 （D）a＞0，且b2－4ac＞0
5.有三个关于x的方程：
，已知其中至少有一个方
程有实根，则实数a的取值范围为（ ）
（A）－4≤a≤4 （B）－2＜a＜4 （C）a＜0 （D）a≤－2，或a≥4
6.不等式4≤x2-3x＜18的整数解集是 。
7.若方程组
有两组解，则实数m的取值集合是
。
8.集合A=
，B=
，则A∩B=
。
9.若
的解集是{x2＜x＜4}，则p，q的值分别是p=
，q= 。
10.对任何实数x，函数
的值恒为负数，则p的取值范围是
。
【答案】
1.D 2.B 3.C 4.C
5.D 6.{－2，－1，4，5} 7.（
）
8.（2，4） 9. 
10.－4＜p≤0
B组
1．解不等式：
(1)（x+1）(x+2)＞ 0;
(2) 2x(x-
)＜ 0;
(3)14-4x2 ≥x;
(4)0＜x2-x-2 ＜4.
2.解不等式组
x(x2+1)≥(x+1)(x2-x+1),
1-2x＞3(x-9).
3.解不等式：
（1）
＜ 0
（2）
＞ 1
4．解不等式（x+a）(x+b)＞0 (a＜b)
5．X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。
6．已知U=R,且A={x x2-9 <0 },B={x x2-3x+2≥ 0} 求：
（1）A∩B； （2）A∪B （3）Cu（A∩B） （4）（Cu A）∪（Cu B）
7．不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1 <0的解集为R，求a的取值范围。
8．解不等式x>
9.已知全集U=R，A={xx2-x-6>0},B={xx2+2x-8>0},C= {xx2-4ax+3a<0},若A∩BC，求实数a的取值范围。
10．已知A={xx-a≤1},B={x
≥ 0},且A∩B=,求a的取值范围。
答案
1．（1）{xx<-2或x>-1}; (2){x0<x<};
(3) {x-2≤x≤
};
(4) {x-2<x<-1 或2<x<3}
2.{x1 x<
}
3.(1) {x- 
<x〈〉; (2) {x 
<
x <
}
4.{xx<-b 或x>-a}.
5.{x2<x<3}
6.易得A＝（－3，3），B＝（－∞，1）∪［2，＋∞］，则
（1）A∩B＝｛x-3<x≤ 1 或2 ≤x<3｝
（2）A∪B＝R
（3）Cu(AB)={xx ≤–3或1<x<2或x≥3}.
（4）(CuA)∪( CuB)={xx≤–3或1<x<2或x≥3}
7．当a2-1=0时a=1,有x ∈R.
当a2-1≠ 0时，
△＝（a-1）2+4(a2-1)=5a2-2a-3<0
a2-1<0
即—
<a<1时有x∈R.
综上所述：－<a≤1
8．x>化为
>0，化为
或
即x>1或-1<x<0,
所以解集为{x-1<x<0或x>1}
9.A=(-2,3),B=(－∞, -4 ) (2,+∞),A ∩B=(2,3),C={x(x-a)(x-3a)<0},
当a<0时, c=(3a,a),A∩B∈C不可能成立
当a>0时，c=(a,3a),由A ∩B ∈C得
即1≤a≤2.
10.A=[a-1,a+1], B=[0,1]∪ (3,+∞ )
a+1<0或
即a<-1.