映射与函数
一、学习目标
1、了解映射的概念，能判断某些简单的对应是不是映射，在映射基础上加深理解函数。
2、理解函数的概念，正确运用函数记号。
3、掌握函数的要素，能判断两个函数是否为同一个函数。
4、初步掌握函数的三种表示法。
5、掌握分段函数
6.加深理解函数的概念，理解对应法则的含义，初步掌握函数解析式的两种求法：
（1）待定系数法； （2）换元法
7.会求一些简单函数的定义域和值域。
二、问与答
问1：写出映f∶A→B的定义
【解】映射f∶A→B的定义是：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元
素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）
叫做集合A到集合B的映射，记作f∶A→B。
【评注】这个定义，不要死记硬背，要从以下四点深刻理解它：
1、先记住映射的记号“f∶A→B”，它包括集合A，B以及A到B的对应法则
f(A≠Φ，B≠Φ)。
2、映射f∶A→B是有方向的，即从A到B，定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”？并不
要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应。因此，“从A到B的映射”与“从B到A的映射”是不
同的。
3、在A到B的映射中，集合A中的每一个元素在B中都有“象”，且“象”唯一。
4、映射是一种特殊的“对应”。而“对应”与集合一样，也是原始概念，即无定义的，但可以“说
明”：对应是两个集合A与B的关系，通常以一个集合为主来考虑，对于A中的每一个元素来说，有
以下三种对应关系：
（1）B中有唯一元素与之对应。
（2）B中有多个元素（不是唯一）与之对应。
（3）B中没有元素与之对应。
映射就是第（1）种对应，而（2）、（3）两种对应不是映射。
问2：在映射f∶A→B中，什么叫“象”和“原象”？怎样判别一个对应是否是映射？试举一个正例和反例。
【解】在映射f∶A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的象，元素a叫
做元素b的原象，记作：f(a)=b。
判别一个对应是映射f∶A→B的要点是：
①A到B；
②A中每一个元素都有象，且象唯一
例如，判别下面的对应是不是映射f∶A→B？
（1）A={三角形}，B={圆}，对应法则f∶作三角形的外接圆。
（2）A=B=R，对应法则f∶x→y=
解：（1）是映射。（2）不是映射，因为0∈A，但0的象不存在。
问3：什么叫A到B上的一一映射？试举一个正例和反例。
【解】如果映射f∶A→B再满足：
那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
例如，下面的映射f∶A→B是不是一一映射？
（1）A={三角形}，B={圆}，对应法则f∶作三角形的外接圆。
（2）A={xx≥0}，B={yy≥0}，对应法则f∶x→y=x2.
解：
（1）不是一一映射，因为不同的三角形可以有同一个外接圆（一个圆的内接三角形有无数个），
即A中不同元素在B中有同一个象。
（2）是一一映射，因为它满足一一映射的条件：
①设x1,x2∈A，且x1≠x2，则由x1≥0，x2≥0，x1≠x2Þy1=
=y2；
②设任一个y1∈B，则由x1≥0Þy1=x2Þx=
。
问4：什么叫函数（用映射回答）？函数的定义域、值域？指出函数的要素。
【解】
如果A，B都是非空数集，那么A到B的映射f∶A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)
（x∈A，y∈B）。
原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域；象的集合C（CÍB）叫做函数y=f(x)
的值域。
函数的定义域、对应法则和值域，通常称为函数的三要素。
【评注】
1、函数是特殊的映射，特别仅在A、B是非空数集。函数、一一映射、映射、对应之间的关系，
如图1所示。
2、函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有的简记作函数f(x)。而f(a)表示自变量x=a(a∈A) 时
的函数值（象）。
3、值域C是B的子集，当B中的每一元素都有原象时，B=C。
4、应该知道，函数的决定性要素是两个：定义域和对应法则，而值域是由定义域和对应法则确定的，
因而今后有“求函数的值域”的很多难题。因此，研究函数的任何问题都必须由定义域和对应法
则这两个独立要素下手。但很多人往往“忽视定义域”的错误。
问5：怎样判别两个函数是否为同一函数？
【解】要根据函数三要素来判别。
判别法一（充要）：“定义域相同”且“对应法则等价”。
判别法二（充要）：两个函数的图象完全重合，则两函数是同一函数。
判别法三（必要）：
（1）定义域不同，则函数不同。
（2）值域不同，则函数不同。
问6：怎样表示函数？
【解】应掌握以下表示法：
1、一般表示法：解析法、图象法、列举法。
2、分段法：掌握分段函数。
例如，把函数y=x+1-x-2化为分段函数是
3、复合法：例如，求函数
）的值域。可用复合法：
设
， ①
则
. ②
把函数②写成
∴函数y的值域是
。
其中，把函数
写成①、②两个函数的复合，即
y=f(u), u=sinx。
这就是复合映射的方法，简称复合法。其实质是一种换元法。本节暂不深究，以后再学习。
问7.怎样求f（x）？举例说明。
【探路】
求f（x）的方法应该是具体问题具体分析，依据问题的已知条件和问题类型，自我探索求法。这里，
只能总结常用的方法，当然，这一总结也应该是“自我总结”，因为“自我总结”是学习的上策。
【解】求f（x）的常用方法是：
1.待定系数法（方程组法）：设出f（x）的一般式；列出待定系数的方程组；解出待定系数；代回一
般式，得函数解析式f（x），概言为“设、列、解、代”。
例：已知f（x）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x
R恒成立，求f（x）。
解：设f（x）=ax+b (a≠0)（其中a，b为待定系数），则
2(ax+b)+a(-x)+b=3x+1
∵上式对x∈R恒成立，
∴会x=0和x=1，得
解得 b=
，a=3
∴f(x)=3x+
2.换元法：
第一换元法——凑法
例：已知
，求f（x）
解：把已知等式改写为
，
即凑成 
∴
这种换元法叫做凑法。
第二换元法——设法
例：已知f(2x-3)=x，求f(x)。
解：把已知等式改写为
f(2t-3)=t
设2t-3=x，则
∴
这种换元法叫做设法。
问8.怎样求函数的定义域？
【解】求定义域的一般步骤是：
1.列条件组，即列出自变量满足的充要条件；
2.解条件组；
3.表出定义域，即用{}或区间表示出定义域。
列条件组的法则是：
1.使解析式f（x）有意义；
2.有抽象问题，要由函数符号的意义来确定；
3.有实际问题，要由实际意义来确定。
例：求函数
的定义域。
解：
∴函数的定义域是[-1，1]∪（1，4）∪（4，+∞）。
问9.在当前的学习阶段，应该掌握哪些求值域的方法？
【解】应该掌握求值域的下述方法：
1.直接法：根据函数的定义域和对应法则，利用学过的基本函数的值域，经过简单的等价变换，直接
求得值域的方法。
2.不等式法：由定义域列出自变量x的不等式，然后用不等式演算法，演算至函数y的不等式，即得
值域。
3.换元法、配方法。
4.反解法、判别式法。
5.图象法。
【评注】
函数的定义域和对应法则确定以后，值域就被完全确定，然而求出值域却是一个相当复杂的问题，没
有包求所有函数值域的万能方法，只能靠自己不断地总结和发现它。今后，随着学习数学知识的丰富，
解题也积累了经验，你将学会许多求值域的方法，但要注意总结和掌握最基本的通法。我们暂时学会
上面的五个方法，并且只能采取“例中学”的方法。由于例题较多，暂不列举，请在下面的《B级》
中学习求值域的范例。
三、例题
例1：下列对应是不是从A到B的映射？是不是函数？
（1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）, f∶x→y=x
（2）A={xx≥0}, B=R, f∶x→y, y2=x.
（3）A={xx≥2, x∈Z}, B={yy≥0, y∈Z}, f∶x→y=x2-2x+2.
（4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f∶作矩形的外接圆。
【探路】
按映射的特点：A中每一元素都有象，且象唯一来判别；按函数的特点；A、B都是非空数集的映射来
判别。
【解】
（1）不是映射，因为0∈A，但0=0∈B，当然，（1）更不是函数。
（2）不是映射，更不是函数。因为
，当x>0时，元素x的象不唯一。
（3）是映射。因为
，又当x∈A时，y∈Z，所以（3）是映射。又因为A、B都是数集，
所以（3）也是函数。
（4）是映射。因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以
（4）是映射。但A、B不是数集，所以不是函数。
例2：已知映射f∶A→B，其中，集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B的元素都是A中元素在映射f下
的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是a，则集合B中元素的个数是（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【探路】该映射是函数，问题化为求函数的值域。
【解】已知映射f∶A→B是函数
f(x)=x，定义域A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，且B是值域，求值域，得
B={3，2，1，4}，其元素的个数是4，因此，选A。
【评注】
用映射的概念来深刻理解函数，反之，用函数的方法来解映射的问题，这是把概念与操作相结合的现
代观点，在本例，用具体的函数来操作映射是最快的算法，而不在概念中兜圈子。
例3：已知函数
求f[f(1)]和f[f(-1)]的值。
【探路】分段计算。
【解】∵
∴
∵
∴
例4：下列哪组函数是同一函数？为什么？
①
②
③
④
【解】
①是同一函数，因为对应法则等价：
。
②不是同一函数，因为定义域不相等：前一函数的定义域是[1，+∞]后一函数的定义域是
。
③不是同一函数，因为定义域不相等：前一函数的定义域是[0
，+∞）；后一函数的定义域是
（－∞，+∞）。本题也可按值域不相等直接看出。
④不是同一函数。因为定义域不相等：前一函数的定义域为R；后一函数定义
域为
。
例5：作出函数
的图象。
【探路】
先把函数化为分段函数，再画图
【解】已知函数化为
其图象如图2。
【评注】
这类函数的图象是折线，因此，还有画图快法：先求折点，即各绝对值等于零的点，如本题折点有
两个：（-1，6）、（2，3）；再求一两个适当点画两边的射线，连折点间的线段，即成图。
例6：设集合A={a1，a2，a3}，B={b1，b2}，
（1）从A到B的映射有多少个？
（2）从B到A的映射有多少个？
【探路】
根据“什么叫映射”来做一个映射：先算每一元素的象有几种可能，然后就能算出共能做出多少个不
同的映射。
【解】
（1）作a1的象有b1或b22种方法，同样作a2，a3的象也各有2种方法，所以从A到B的映射，
共有2×2×2=8个。
（2）从B到A的映射共有3×3=9个。
例7：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，
超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算。
| 全月应纳税所得额 | 税率 |
| 不超过500元的部分 | 5% |
| 超过500元至2000元的部分 | 10% |
| 超过2000元至5000元的部分 | 15% |
|
|
|
（1）某人今年十月份工薪为4000元，问他应纳税多少元？
（2）某人去年十月份纳税26.78元，问他去年十月份的工薪为多少元？
【探路】利用分段函数进行计算。
【解】（1）该人全月纳税所得额为
4000元－800元=3200元
他应纳税：500元×5%+1500元×10%+1200元×15%=355元。
（2）工薪1300元应纳税：500元×5%=25元；
工薪2800元应纳税：25元+1500元×10%=175元。
∵26.78∈(25,175)，
∴他去年十月份的工薪为1300元+（26.78－25）元×
元。
例8：将长为l厘米的铁丝折成矩形，问怎样折才能使矩形的面积最大？并求出这个最大面积。
【探路】选取自变量，建立面积函数，注意定义域，求出值域，便得最大值。
【解】设折成的矩形的一边长为xcm，面积为Scm2，
则 
当
时，取得
∴将铁丝折成边长为
的正方形时，面积最大，最大面积为
【评注】这种解决应用问题的方法叫“目标函数法”，其步骤是：
1、选取自变量，并确定定义域；
2、建立目标函数，如本例目标函数是求最值的矩形面积；
3、求解；
4、评价：检验与评价结果是否符合实际。
例9.已知f(x+1)=x2-3x+2，
（1）求f（x）；
（2）求f（x-a）+f（x+a）
【探路】换元法：用凑法换元或设法换元。
【解法一】
（1）改写已知等式，并且凑法：
f(t+1)=t2-3t+2=(t+1)2-5t+1=(t+1)2-5(t+1)+6，
∴f(x)=x2-5x+6
（2）f(x-a)+f(x+a)=(x-a)2-5(x-a)+6+(x+a)2-5(x+a)+6
=2x2-10x+2a2+12
【解法二】
（1）把已知等式改写为
f(t+1)=t2-3t+2
设 t+1=x，则t=x-1
f(x)=(x-1)2-3(x-1)+2=x2-5x+6
即f(x)=x2-5x+6
（2）同“解法一”
【评注】
解法一是“凑法”，解法二是“设法”，它们都是换元法。选用哪个方法要由题目的条件来确定，
如本题解法二较好。但下面的例2用解法二（设法）却是不好的。
例10.已知
，求f(x)和f(-3)。
【探路】
用凑法换元。
【解】把已知式先改写，并用凑法：
∴
∴f(-3)=-3(9-3)=-18
【评注】
本题用“设法”，即“设
，解出t”是不好的，请你试试看。
例11.求下列函数的定义域：
（1）
； （2）
【解】（1）
∴函数的定义域是（-∞，-3）∪（-3，-1] ∪[4，+∞）。
（2）
∴函数的定义域是（-2，2）∪（2，+∞）
【评注】
在（1）中，解x+1-2≠0得x≠1 , x≠-3，如果写成“x≠1，或x≠-3”，这是错误的；应写成
“x≠1，且x≠3”。这是一个重要的逻辑思维问题，不要用错逻辑联结词“或”、“且”。写出
上面的x
{1，-3}是最好的。
在（2）中，解
时，先解方程
，经检验x=-1是增根，应舍去。
所以得x≠2。
求定义域最关键问题是列出自变量可取值的充要条件组。在解析式上，目前应记准列条件组的下述
法则：
有分式——分母非零；
有偶次根式——被开方式非负；
有零指数幂——底非零。
例12.（1）已知y=f(x)的定义域是[-1，2]，求函数y=f(x+1)-f(x-1)的定义域。
（2）已知y=f(1-2x)的定义域是[-1，2]，求函数y=f(x)的定义域。
【探路】
利用函数的符号意义来求其自变量的取值范围。先改写已知定义域的函数的自变量。
【解】
（1）∵f(t)的定义域是[-1，2]，
∴-1≤t≤2。
对于函数y=f(x+1)-f(x-1)使f(t)有意义，应有
，
∴函数y=f(x+1)-f(x-1)的定义域是[0，1]。
（2）∵f(1-2t)的定义域是[-1，2]
∴-1≤t≤2
∴-3≤1-2t≤3
对于函数f（x）的自变量x=1-2t∈[-3，3]
∴函数y=f（x）的定义域是[-3，3]
【评注】
本题就是“抽象问题”，求抽象函数的定义域要由函数符号的意义来确定，其关键是抓住“谁是自
变量”，求定义域就是求自变量的取值范围。以本题之（2）为例：首先要弄清f(1-2x)和f(x)是两个
不同的函数；因为它们的自变量都表示为x，为了防止混淆，把已知函数f(1-2x)改写为f(1-2t)，这
样函数f(1-2t）的自变量为t∈[-1,2].所求函数f(x)的自变量为x，再由x=1-2t , t∈[-1 , 2]，求
得x∈[-3，3]，即得f（x）的定义域。函数y=f(1-2t)是函数y=f(x)和函数x=1-2t的“复合”。中学
所遇到的“抽象函数问题”就是这种复合函数的符号问题。
例13.求函数
的值域。
【探路】用“不等式法”或“反解法”。
【解法一】用“不等式法”：
由x≠3得
≠0（即
）
∴y≠2，即得函数y的值域：{yy∈R，且y≠2}。
【解法二】用“反解法”，即“解x法”：
①
关于自变量x的方程①有x≠3的解
y≠2，
∴函数y的值域是{yy∈R，且y≠2}
【评注】
“不等式法”，已在前面说过，通过本例加以熟练。
“反解法”就是把函数y=f(x) , x∈A（A是定义域）等价地化为关于自变量x的方程，求值域就是求
该方程在定义域上有解的充要条件。但不必求出x，只要用各种方法消去x，用y表出这个充要条件，即可
解得值域。当这个充要条件可用判别式表出，那么，这种“反解法”就叫做“判别式法”。当这个充要条
件不能用判别式表出，即是判别式法失效！
例14.求函数
的值域。
【探路】用“判别式法”
【解】该函数的定义域A=R
①
（1）当y=0时，①x=0∈A（定义域），∴有y=0
（2）当y≠0时，①有实数解△=1-4y2≥0（y≠0）
Û
。
由（1）和（2），得函数值域为[
]。
【评注】
判别式法应用在二次方程中，所以应注意讨论方程①是否为二次方程，因此本题要分类讨论。
本题“判别式法”有效，是因为二次方程①的根x∈R，没有限制。对于根x有限制的二次方程，△≥0
只是有实数根的必要条件，还要补加其它条件，使之成为充要条件才能求得值域，否则，要改用其他方法。
例15.求函数
的值域。
【探路】用换元法，设
，则x可用t的有理式表示，从而化为二次函数的值域问题。
【解】设，则t∈[0，+∞），x=1+t2
∴
∴
∴函数的值域是[
）。
【评注】
用换元法，必须注意：不但解析式要完全化为新元的函数，而且要求出新元的取值范围（新函数的定
义域），即建立完整的新函数。如本例的新函数是
，t∈[0，+∞]，否则，换元不等
价，容易造成错误。
例16.x为何值时，x-1+x-2+x-3+x-5的值最小？并求出这个最小值。
【探路】
显然，这是求函数。
f（x）=x-1+x-2+x-3+x-5
的值域问题。用分类法（零点划分）是可以解决的，但要分为五种情况（分段函数），太麻烦了，
于是想用图象法来解，试试看，能不能非常简单，还有没有更妙的解法？
【解法一】
（图象法）这个函数的图象是折线，其最小值必在折点上取得，于是计算四个折点的函数值：
f(1)=7 , f(2)=5 , f(3)=5 , f(5)=9
∴f(x)的最小值为5，当x∈[2，3]时取得。
【解法三】（利用绝对值的几何意义）画数轴：
设动点P的坐标为x，A、B、C、D的坐标分别为1、2、3、5，则f（x）=x-1+x-2+x-3+x-5
=PA+PB+PC+PD=d
由图可知，当点P在线段BC上时，取得d0=BC+AD=1+4=5；当点P在线段BC的两侧延长线上时d>d0，
∴当x∈[2，3]时，取得f(x)min=5。
【评注】解法一是图象法，但无需画图，其图象是开口向上的折线，在解题者的想象之中。
解法二是“图解法”——画数学式的几何图，图解法包括图象法。由本题，我们看到图解法包括：
（1）图象法；（2）图示法——画几何图或示意图
图解法是数形结合法。
四、练习题
A组
1、已知
，则f[f(－1)] 的值等于（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
2、下列四组函数中，表示同一函数是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、下列说法中，不正确的是（ ）
A、函数的值域中的每个数都有原象
B、定义域和值域分别相等的两函数是同一函数
C、定义域和对应法则分别相同的两函数是同一函数
D、函数的定义域只含一个元素，则值域也只有一个元素
4、已知集合A=[0，4]，B=[0，2]，则下列各表达式中，不是A到B的函数为（ ）
A、
B、
C、
D、
5、给出如下三个命题：
①函数是其定义域到值域上的映射。
②
是x的函数。
③函数
的图象是一条抛物线。
其中正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
6、在给定的映射f∶(x,y)→(2x+y,xy)下，点（
）的原象是
。
7、若集合A={1，2，3，4，5}，且对应法则f∶x→x(x-4)是从A到B的映射的法则，则集合B中至少
有 个元素。
8、已知
，则f[f(x)]= 。
9、已知
，则f(3)=
。
10、已知镭经过100年后剩下原有质量的95.76%，若质量为1克的镭经过x年后的剩余量为y克，则y与x的关
系式是 。
【答案】
1、D 2、B 3、B 4、C 5、A
6、
7、4 8、
9、2
10、
B组
1.函数
的定义域是（ ）
（A）[5，+∞） （B）（-1，5）
（C）[-1，
）∪（，5） （D）（-∞，）∪（，5）
2.函数f(x)的定义域是[-1，2]，则函数f(x2)的定义域是（ ）
（A）[-1，2] （B）[-
，] （C）[0，] （D）[0，2]
3.函数y=－x2－2x+3（-5≤x≤0）的值域是（ ）
（A）（-∞，4] （B）[3，12] （C）[-12，4] （D）[4，12]
4.函数y=1-x-x-3的值域是（ ）
（A）[-2，2] （B）[-2，+∞） （C）（-∞，2] （D）[2，+∞）
5.下列函数中值域为（0，+∞）的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1，则f（1）= 。
7.若函数f(x)满足
，则f（x）=
。
8.函数
的定义域是
，值域是
。
9.函数
的值域是
。
10.函数
（0≤x≤4）的最小值是
。
【答案】
1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6. 2 7. x2-1(x≥1)
8.(- ∞,-1)∪(-1,0) ∪(0,+∞) , (-∞,0) ∪(0,1) ∪(1+∞)
9.[2,+ ∞] 10.4+3