圆锥曲线-高中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

学科：数学

教学内容：　圆锥曲线

一、考纲要求

　　1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.

　　2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据所给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的一些实际应用.

　　3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.

　　4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.

二、知识结构

　　1.方程的曲线

　　在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

　　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

　　(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

　　点与曲线的关系　若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y₀)=0；

　　点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0

　　两条曲线的交点　若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则

　　点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点

　　方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

　　2.圆

　　圆的定义

　　点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

　　圆的方程

　　(1)标准方程

　　圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是

　　(x-a)²+(y-b)²=r²

　　圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

　　x²+y²=r²

　　(2)一般方程

　　当D²+E²-4F＞0时，一元二次方程

　　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　　叫做圆的一般方程，圆心为(-,-)，半径是.配方，将方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化为

　　(x+)²+(y+)²=

　　当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点

　　(-,-);

　　当D²+E²-4F＜0时，方程不表示任何图形.

　　点与圆的位置关系　已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x₀,y₀)，则

　　｜MC｜＜r点M在圆C内，

　　　　　　　　　　　　　　｜MC｜=r点M在圆C上，

　　　　　　｜MC｜＞r点M在圆C内，

　　其中｜MC｜=.

　　(3)直线和圆的位置关系

　　①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

　　直线与圆相交有两个公共点

　　直线与圆相切有一个公共点

　　直线与圆相离没有公共点

　　②直线和圆的位置关系的判定

　　(i)判别式法

　　(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.

　　3.椭圆、双曲线和抛物线

椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

　　4.圆锥曲线的统一定义

　　平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

　　其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

　　当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

　　当e=1时，轨迹为抛物线

　　当e＞1时，轨迹为双曲线

　　5.坐标变换

　　坐标变换　在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

　　坐标轴的平移　坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

　　坐标轴的平移公式　设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

　　(1)　　　　或　　 (2)

　　公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

　　中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

　　中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方　　程		焦　点	焦　线	对称轴
椭　　　　圆		(±c+h,k)	x=±+h	x=h 　　y=k
椭　　　　圆		(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　　y=k
双曲线		(±c+h,k)	y=±+k	x=h 　　y=k
双曲线		(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　　y=k
抛物线	(y-k)²=2p(x-h)	(+h,k)	x=-+h	y=k
	(y-k)²=-2p(x-h)	(-+h,k)	x=+h	y=k
	(x-h)²=2p(y-k)	(h, +k)	y=-+k	x=h
	(x-h)²=-2p(y-k)	(h,- +k)	y=+k	x=h

三、知识点、能力点提示

　　(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

　　说明　在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

　　例1 如果实数x、y满足等式(x-2)²+y²＝３，求y/x的最大值.

　　解：　此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.

　　设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.

　　，解得k＝(-舍去).

　　(二)充要条件

　　说明　充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.

　　例2 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的(　　)

　　A.一条直线不相交　　　　　　 B.两条直线不相交

　　C.任意一条直线都不相交　　　　D.无数条直线不相交

　　解：把“直线与平面平行”作为甲命题，在四个选项中选出一个是甲命题的充要条件的命题。因为直线与平面平行的定义是直线与平面无交点，而A、B、D三个选项都不能保证此条件，只有C能保证，故选C

　　(三)圆的标准方程和一般方程

　　说明　求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.

　　例3 圆A：(x+1)²+(y+1)²=1，

　　圆B：(x-1)²+(y-1)²=4，则有两圆的公切线有(　　)

　　A.1条　　　B.2条　　 C.3条　　　D.4条

　　解：　要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 .∵A圆圆心是C₁(-1,-1)，B圆圆心是C₂(1，1)，∴｜C₁C₂｜＝2，r₁＝1，r₂＝2.

　　r₁+r₂＞｜C₁C₂｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.

　　(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法

　　说明　天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.

　　例4 椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，椭圆的离心率e=,椭圆各点到直线x-y++=0的最短距离为1，求此椭圆的方程。

　　解因为e==，所以a=2b.

　　设 M(2bcosθ，bsinθ)为椭圆上任一点，则M到直线x-y++＝0的距离为

　　d=.

　　而d的最小值为1。＝１，则b＝1，故所求椭圆方程为+y²＝1.

　　(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线

　　说明　根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.

　　例5 已知双曲线＝1(＜θ＜π)过点

　　A(4，4).

　　(1)求实轴、虚轴的长；

　　(2)求离心率；

　　(3)求顶点坐标；

　　(4)求点A的焦半径.

　　解：　因为双曲线过点A(4，4)，所以

　　＝1，tg²θ+tgθ-２＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因为＜θ＜π)

　　∴双曲线方程为-＝1.

　　从而a=2,b=4,c=2.

　　(1)实轴长2a=4，虚轴长2b＝8.

　　(2)离心率e＝＝.

　　(3)顶点为(0，2)，(0，-2).

　　(4)焦点F₁(0，-2)，F₂(0，2).

　　｜AF₁｜＝

　　　　　＝2(+1)，

　　｜AF₂｜＝

　　　　　＝2(-1).

　　(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法

　　说明　这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax²+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.

　　例6 如图，过抛物线y²=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程。

　　解 (1)设点M的坐标为(m,2),点N的坐标为(n,-2)，

　　由已知，OM²+ON²＝MN²，则　m²+4m+n²+4n=(m-n)²+(2+2)²，mn＝16。

　　直线MN:

　　当y=0时，x=＝4

　　所以　MN与x轴交点的坐标为(4，0)。

　　(2)又因设弦MN的中点为P(x,y),

　　y²＝m+n-2=2x-8

　　故弦MN的中点轨迹为y²=2x-8

　　(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程

　　说明坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一条曲线在不同的坐标中有不同的方程.

　　例7 方程x²+4y²+6x-8y+1=0的对称中心是(　　)

　　A.(-3，-1)　　　　　　　　　　　 B.(-3，1)

　　C.(3，-1)　　　　　　　　　　　 D.(3，1)

　　解：　将原方程配方后化为=1，∴ 对称中心是(-3，1).故选B.

　　例8 求椭圆9x²+4y²-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率及准线方程.

　　解：　将原方程配方后化成

　　=1.

　　令.得到新方程为＝1.

　　∴a=3,b=2,c==.

　　即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝＝.在新坐标系中，焦点为(0，)，(0，-)，

　　准线为y′＝±＝±

　　由平移公式，得在原坐标系中

　　焦点为：(2，-3)、(2，--3)，

　　准线为：y=±-3.

　　(八)综合例题赏析

　　例9 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)

　　A.丙是甲的充分条件，但不是必要条件

　　B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

　　C.丙是甲的充要条件

　　D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

　　解 “甲是乙的必要条件”，即“甲乙”，“丙是乙的充分不必要条件”，即“丙乙，且丙乙”。

　　因丙乙甲

　　即丙是甲的充分不必要条件

　　故应选A.

　　例10 已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)²+y²=4相切，那么a的值是(　　)

　　A.5　　B.4　　C.3　　D.2

　　解：r=2，圆心(1，0)，a＞0，∴a＝３

应选C.

　　例11 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距离最小的圆的方程

　　解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r

　　由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦长为r,有r²=2b²

　　由“圆P截y轴所得弦长为2”有r²=a²+1

　　∴2b²-a²=1

　　P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

　　d=,得

　　5d²=｜a-2b｜²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)

　　　　　　　 2b²-a²=1

　　当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1从而d取得最小值

　　由此有　解得或

　　又由r²=2b²,得r²=2.

　　∴所求圆方程是(x-1)²+(y-1)²=2,或(x+1)²+(y+1)²=2

　　例12 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l∶x-2y=0的距离为，求该圆的方程

　　解设已知圆的圆心P(a,b)，半径为r，由题设已知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角是90°，从而圆P截x轴所得弦长为r，又点P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜圆P 截y轴所得弦长为2。

　　r²=a²+1　　　　 (1)

　　由已知有，点P到直线x-2y=0的距离为，即

　　d=　　　　(2)

　　由圆P截y轴的弦长为2，易知｜b｜=1　(3)

　　(2)、(3)联立，可得　或　代入(1)又得r=

　　于是所求圆的方程为(x+1)²+(y+1)²或(x-1)²+(y-1)²＝2

　　例13 设椭圆=1　(a＞b＞0) 的右焦点为F₁，右准线为l₁.若过F₁且垂直于x轴的弦的长等于点F₁到l₁的距离，则椭圆的离心率是　　　　　 .

　　解：

　　例14 设直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)²+y² ＝25的直径分为两段，则其长度之比是(　　)

　　A.或　　 B. 或　　 C. 或　　 D. 或

　　解：如下图

　　圆(x+1)²+y²＝25的圆心坐标是(-1,0)，半径r=5。

　　直线l：2x-3-＝0与y轴的交点P的坐标是(0，-)。

　　设点P在直径AB上，所求即

　　｜PA｜∶｜PB｜。

　　由于｜O′P｜＝｜＝2

　　则｜PA｜∶｜PB｜＝(r+2)∶(r-2)＝7∶3或

　　　　｜PA｜∶｜PB｜＝(r-2)∶(r+2)＝3∶7或

　　故应选A。

　　例15 设双曲线=1(0＜a＜b)的半焦距为C，直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线1的距离为c，则双曲线的离心率为(　　)

　　A.2.　　　B.　　 C.　　　D.

　　解：∵直线1过(a,0)，(0,b),

　　∴1的方程为=1,

　　即bx+ay-ab=0

　　∵原点(0，0)到1的距离为c，由点到直线的距离公式，得c=又0＜a＜b,双曲线中c²=a²+b²,

　　∴

　　整理得a²-4ab+b²=0,b=a.

　　∴c²=a²+b²=4a²,c=2a,e==2.

　　应选A.

　　例16 设F₁和F₂为双曲线-y² =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°.则△F₁PF₂的面积是(　　 )

　　A.1　　　　B.　　　　　 C.2　　　　 D.

　　解：由已知可得，F₁(-，0)，F₂(，0)

　　∴｜F₁F₂｜=2,｜F₁F₂｜²=20

　　由∠F₁PF₂=90°,

　　得20=｜F_１F_２｜^２＝｜PF₁｜^２+｜PF_２｜^２　　　　　 ①

　　由双曲线定义得︳PF₁︳-︳PF_２︳=2a=4，平方得

　　｜PF₁｜²+｜PF₂｜²-2｜PF₁｜·︳PF₁｜=16　　　　 ②

　　①-②得2｜PF₁｜·｜PF₂｜=4

　　∴S_△F1PF2=｜PF₁｜·｜PF₂｜

　　应选A.

　　例17 双曲线-x²=1的两个焦点坐标是　　　　　 .

　　解：(0，)，(0，-)

　　例18 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是(　　)

　　A.　　 B.　　 C.　　 D.2

　　解：由题设知a=2,c=3.

　　∴e=.

　　应选C.

　　例19 已知点(-2，3)与抛物线y²=2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p=　　　　　　 .

　　解：y²=2px的焦点坐标是(，0)，

　　∴5=

　　解出p=4.

　　例20 直线l过抛物线y²=a(x+1)(a＞0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=　　　　 .

　　解：设抛物线焦参数为p，则a=2p(p＞0).

　　l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y²=a(x+1)的对称轴.

　　∴l被抛物线截得的线段即正焦弦长.

　　∴4=2p=a，即a=4.

　　例21 如果三角形的顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(-8 ，0)，那么它的内切圆方程是　　　　　　。

　　解：设内切圆心为O′，则O′到x、y轴等距，其距离即内切圆半径r，又O′在第四象限木，所以O′（r,-r）。

　　直线AB的方程是＝18x-15y-120＝0

　　即±17r＝23r-120，解得r＝3(已舍负值)。

　　例22 焦点在(-1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 (　　)

　　A.y²=8(x+1)　　　　 B.y²=-8(x+1)

　　C.y²=8(x-1)　　　　 D.y²=-8(x-1)

　　解：设抛物线焦参数为p，则焦点和顶点的距离是，即==2，得p=4.

　　又抛物线顶点坐标为(1，0)，焦点是(-1，0)，

　　∴y²=-8(x-1)为所求.

　　应选D.

　　例23 圆x²+y²-2x＝0和圆x²+y²-4x＝0的位置关系是(　　)

　　A.相离　　　B.外切　　 C.相交　　　D.内切

　　解 C₁∶（x-1）²+y²＝1,O₁(1,0),r₁＝1

　　　　C₂∶x²+(y-2)²＝4,O₂(0,2),r²＝2

　　因｜O₁O₂｜＝＜r₁+r₂＝3,且＞｜r₁-r₂｜＝1,

　　则两圆相交

　　应选C。

　　例24 设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁.

　　(1)写出曲线C₁的方程；

　　(2)证明曲线C与C₁关于点A(，)对称；

　　(3)如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明S=-t且t≠0.

　　解：(1)曲线C₁的方程为

　　y=(x-t)³-(x-t)+s

　　(2)在曲线C上任取点B₁(x₁，y₁)，设B₂(x₂，y₂)是B₁关于点A的对称点，则有，，

　　∴x₁=t-x₂，y₁=s-y₂

　　代入曲线C的方程，得x₂和y₂满足方程：

　　S-y₂=(t-t₂)³-(t-x₂)，

　　即y₂=(x₂-t)²-(x₂-t)+s，

　　可知点B(x₂-y₂)在曲线C₁上

　　反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上，

　　∴曲线C与C₁关于点A对称.

　　(3)∵曲线C与C₁有且仅有一个公共点，

　　∴方程组，有且仅有一组解.

　　消去y，整理得

　　3tx²-3t²x+(t³-t-S)=0，

　　这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根

　　∴t≠0，并且其根的判别式

　　Δ=9t⁴-12t(t³-t-S)=0.

　　即

∴S=-t且t≠0

　　例25 已知椭圆=1，直线L∶=1，P是L上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│²，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

　　解：如图.

　　由题设知Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为(x_P，y_P)、(x_R，y_R)、(x，y)其中x ，y不同时为零.

　　当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组；

　　　解得

　　由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组：

　　　③，解得　④

　　当点P在y轴上时，经检验①—④也成立.

　　∵│OQ│·│OP│=│OR│²

　　∴·，

　　将(1)—(4)代入上式，化简整理得

　　因x与x_P同号或y与y_P同号，以及③、④知2x+3y＞0，

　　∴点Q的轨迹方程为=1.其中(x，y不同时为零)

　　点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆.

　　解法二：由题设知点Q不在原点.

　　设P、R、Q的坐标分别为(x_P，y_P)，(x_R，y_R)，(x,y)其中x，y不同时为零.

　　设OP写x轴正方向的夹角为α，则有

　　　　x_P=│OP│cosα，y_P=│OP│sinα；

　　　　x_R=│OR│cosα，y_R=│OR│sinα；

　　　　x=│OQ│cosα，y=│OQ│sinα；

　　又│OP│·│OQ│=│OR│²，可得

　　　①　　②

　　∵点P在直线l上，点R在椭圆上，

　　∴，将(1)、(2)代入，得

　　=1.(其中x，y不同时为零).

　　∴Q点的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆(去掉坐标原点).

　　例26 已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点、焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线的方程.

　　解法一：如图.

　　由题意可设抛物线C的方程为y²=2px　(p＞0)，且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，所以可设l的方程y=kx　(k≠0)①

　　设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，则有，

　　A′A⊥l，直线AA′的方程为

　　　　　　y=-(x+1).②

　　由①、②联立得AA′与l的交点M的坐标为(-，-).

　　由M为AA′的中点，得点A′的坐标为，

　　　　x_A′=2(-)+1=，

　　y_A′=2()+0=-③

　　同理可得点B的坐标为(，).

　　∵A′、B′均在抛物线y²=2px　(R＞0)上，

　　∴(-)²=2p·，知k≠±1 ，p=.

　　同理()²=2p·，得p=.

　　∴，

　　整理得k²-k-1=0.

　　解得k₁=，k₂=.

　　但当k=时， =-＜0，与A′在抛物线y²=2px上矛盾，故舍去.

　　把k=代入p=.

　　∴直线方程为y=x，抛物线方程为y²=x.

　　解法二：设点A、B关于直线l的对称点A′(x₁，y₁)、B′(x₂，y₂)，则有

　　│OA′│=│OA│=1，│OB′│=│OB│=8

　　设x轴正向到OB′的转角为α，则有

　　　　x₂=8cosα，y₂=8sinα 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　∵A′，B′是A，B关于直线l的对称点，

　　又∠BOA是直角，

　　∴∠B′OA′为直角，得

　　x₁=cos(α-)=sin α，y₁=sin(α-)=-cosα　　　　　　　　　②

　　由题意知，x₁＞0，x₂＞0，故α为第一象限角.

　　∵A′，B′都在抛物线y²=2px上，

　　∴cos²α=2p·sinα，64sin²α=2p· cosα

　　∴8sin³α=cos³α，得2sinα=c osα

　　解得sinα=，cosα=.

　　代入cos²α=2psinα，得p=.

　　∴抛物线方程为y²=x.

　　∵直线l平分∠BOB′，

　　∴l的斜率k=tg〔α+(-α)〕=tg(+)

　　∴ 直线l的方程为y=x.

　　例27 在面积为1的△PMN中，tgM=，tgN=-2，建立适当的坐标系，求出M、N为焦点且过点P的椭圆方程.

　　解：如图

　　以MN所在直线为x轴，以线段MN的垂直平分线为y轴建立坐标系.

　　设以M、N为焦点且过P点的椭圆的方程为

　　=1　(a＞b＞0)

　　点M、N的坐标分别为(-c,0)、(c,0).

　　由tgM=，tg∠PNx=tg(π-∠MNP)=2，得

　　直线PM和直线PN的方程分别为

　　y= (x+c),y=2(x-c).

　　将两方程联立得，即P(c,c).

　　已知△MNP的面积为1，

　　∴1=｜MN｜·y_P=·2c·c=c²，

　　得c=，P(，).

　　∵｜PM｜=

　　=，

　　｜PN｜=

　　=，

　　∴2a=｜PM｜+｜PN｜=,a=，

　　 b²=a²-c²=()²-()²=3 .

　　∴=1为所求椭圆方程.

　　例28 自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程。

　　解设反射光线为L′

　　由于　L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，

　　于是　L′过A(-3，-3)。

　　设L′的斜率为k，则L′的方程为

　　y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

　　已知圆方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1

　　因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

　　即

　　整理得12k²-25k+12＝0

　　解得k＝或k＝

　　L′的方程为y+3＝ (x+3);或y+3＝ (x+3)。

　　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

　　因L和L′关于x轴对称

　　故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0。

　　例29 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.

　　解：设所求椭圆的方程为=1.

　　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：

　　将②代入①，整理得

　　　　　　 (a²+b²)x²+2a²x+a²(1-b²)=0，　　　　　　　　　　　　 ③

　　设方程③的两个根分别为x₁、x₂，则直线y=x+1和椭圆的交点为，

　　P(x₁,x₁+1)，Q(x₂,x₂+1)

　　由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　　整理得

　　解这个方程组，得

　　或

　　根据根与系数的关系，由(3)式得

　　(Ⅰ)　或　(Ⅱ)

　　解方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)得

　　　或

　　故所求椭圆方程为

　　=1，或=1.

　　例30 如图所示，给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l∶x＝-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系。

　　本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。

　　解法一　依题意，记B(-1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝-bx。

　　设点C(x,y)，则有0≤x＜a，则OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线的距离公式得

　　　　　　　　　｜y｜＝　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　依题设，点C在直线AB上，故有

　　　　　　　　　 y＝- (x-a)

　　由x-a≠0得b＝-　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　将②式代入①式得

　　y²［1+］＝［y-］²

　　整理得　y²［(1-a)x²-2ax+(1+a)y²］＝0

　　若y≠0,则(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0＜x＜a＝；

　　若y=0，则b＝0,∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式，

　　综上得点C的轨迹方程为

　　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0≤x＜a)。

　　(Ⅰ)当a＝1时，轨迹方程化为y＝x(0≤x＜1);　　　　　　　　 ③

　　此时，方程③表示抛物线孤段；

　　(Ⅱ)当a≠1时，轨迹方程化为

　　＝1(0≤x＜a)。　　　　　　　　　　　　 ④

　　所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段。

　　当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段。

　　解法二　如图所示，设D是I与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。

　　(Ⅰ)当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a,y≠0。

　　由CE∥BD得

　　｜BD｜＝(1+a)

　　因 ∠COA＝∠COB＝∠COD-∠BOD

　　则 2∠COA＝π-∠BOD,

　　tg(2∠COA)＝,tg(π-∠BOD)＝-tg∠BOD

　　又因　tg∠COA＝,tg∠BOD＝ (1+a)。

　　故 (1+a)。

　　整理得　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0　(0≤x＜a)。

　　(Ⅱ)当｜BD｜＝0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为(0，0)，满足上式。

　　综合(Ⅰ)，(Ⅱ)，得点C的轨迹方程为

　　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0≤x＜a＝。

　　例31 已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且OP垂直，过点A(1，0)和点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.

　　解：设点P的坐标为(2，y₁)，则直线OP的斜率

　　k_OP=.

　　∵l⊥直线OP.

　　∴直线l的斜率k₁满足k_OP·k₁=-1，即·k₁=-1，得k ₁=-.

　　又直线l过原点，所以l的方程为y=-x.

　　∵直线m过点A(1，0)，P(2，y₁).

　　∴m的方程为y₁x-y-y₁=0

　　由l的方程得y₁=-代入m的方程得--y+=0，即2x²+y²-2x=0.

　　显然点Q与点A(1，0)不重合，故x≠1.

　　又2x²+y²-2x=0可化为

　　　　=1　(x≠1)，

　　∴Q点的轨迹是挖去点(1，0)的椭圆，该椭圆的焦点坐标是(，)和(，-).

【同步达纲练习】

(一)选择题

　　1.“点M的坐标是方程f(x，y)=0的解”是“点M在方程f(x，y)=0曲线上”的(　　)

　　A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件

　　C.充要条件　　　　　D.既非充分又非必要条件

　　2.已知圆C的方程为f(x,y)＝0,点A(x₀,y₀)是圆C外的一点，那么方程f(x,y)-f(x₀,y₀)＝0表示的曲线(　　)

　　A.可能不是圆

　　B.是与圆C重合的圆

　　C.是过A点与圆C相交的圆

　　D.是过A点且与圆C同心的圆

　　3.椭圆(1-m)x²-my²=1的长轴长是(　　)

　　A.　　　　　　　　　　 B.

　　C. 　　　　　　　　　　D.

　　4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是(　　)

　　A. -y²=1和=1　　　　B. -y²=1和y²-=1

　　C.y²-=1和x²-=1　　　　　 D. -y²=-1和-=1

　　5.抛物线y＝x²(m＜0)的焦点坐标是(　　)

　　A.(0,)　　　　　　　　　　 B.(0,- )

　　C.(0, )　　　　　　　　　 D.(0,- )

　　6.已知椭圆=1　(a＞b＞0)的两个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是(　　)

　　A. 　　 B. 　　　 C.　　 D.

　　7.过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点作一条直线l交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则的值为(　　)

　　A.4　　　B.-4　　　　　　 C.p²　　　B.-p²

　　8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ，F′是另一个焦点，若∠PF′Q=，则双曲线离心率是(　　)

　　A.+2　　　B. +1　　　C. 　　　D. -1

　　9.x²+2x+y²+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　　)

　　A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个

　　10.椭圆的两准线方程分别为x=，x=-，一个焦点坐标为(6，2)，则椭圆方程是(　　)

　　A. =1 　　　B. =1

　　C. =1 　　　D. =1

　　11.设双曲线=1的两条渐近线含实轴的夹角为θ，而离心率e∈［，2］，则θ的取值范围是(　　)

　　A.［，］　　　 B.［，］　　 C.［，］　　　　D.［， π］

　　12.圆心在抛物线x²=2y上，且与y轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(　　 )

　　A.x²+y²-x-2y-=0　　　　 B.x²+y²+x-2y+1=0

　　C.x²+y²+2x-y+1=0　　　　 D.x²+y²-2x-y+=0

　　13.和x轴相切，且和圆x²+y²=1外切的动圆圆心的轨迹方程是(　　)

　　A.x²=2y+1　　　　　　　　　　　　 B.x²=-2y+1

　　C.x²=2y+1或x²=-2y+1　　　　　　　 D.x²=2│y│+1

　　14.已知A＝｛(x,y)｜x²+y²=1｝,B=｛(x,y)｜y²=2(x-a)｝;若A∩B=，则实数a的取值范围是(　　)

　　A.a＜-1　　　　 B.a＞1　　　　　 C.a＜-2　　　　 D.a＜-1或a＞1

　　15.已知0＜a＜1＜b，那么曲线a²x²-a²y²=log_ab是(　　 )

　　A.焦点在x轴的双曲线

　　B.焦点在y轴的椭圆

　　C.焦点在x轴的等轴双曲线

D.焦点在y轴的等轴双曲线

(二)填空题

　　16.直线xsinα+ycosα=m(常量α∈(0，)) 被圆x²+y²=2所截的弦长为，则m=　　　　.

　　17.抛物线y²=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为　　　　.

　　18.如果方程x²cos2θ+y²sinθ=1，表示椭圆，那么θ 角的取值范围是　　　　 .

19.设F₁、F₂是双曲线=1(a ＞0,b＞0)的两个焦点，P为双曲线上的一点，P与F₁、F₂的连线互相垂直，且∠PF₁F ₂＝15°，则双曲线的离心率为　　　　　　　 .

(三)解答题

　　20.已知两圆C₁∶x²+y²+4x-4y-5=0

　　　　　　　 C₂∶x²+y²-8x+4y+7=0

　　(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线方程.

　　(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.

　　21.(1)椭圆=1上一点P与两焦点 F₁F₂连线所成的角∠F₁PF₂=α，求△F₁PF₂的面积；

　　(2)将上题的椭圆变成双曲线=1 ，求△F₁PF₂的面积.

　　22.双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且过点(3，2)，过左焦点且斜率为-的直线交两条准线于M、N，以MN为直径的圆过原点，求双曲线的方程.

　　23.已知椭圆=1，左、右焦点分别为 F₂、F₁，右准线为L，问能否在椭圆上求得一点P，使│PF₁│是P到L的距离d与│PF₂│的比例中项?若能，求出P点坐标，若不能，说明理由.

　　24.试就k的取值(k∈R，且k≠4)讨论方程+(k-2)y²=1+k所表示曲线的形状.

　　25.已知抛物线C∶y²=4x

　　(Ⅰ)若椭圆的左焦点与左准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

　　(Ⅱ)若M(m，0)是x轴上的一个定点，Q是(Ⅰ)中P的轨迹上的任意一点，试问｜MQ｜有无最小值?若有，求出最小值，若没有，说明理由.

参考答案

【同步达纲练习】

　　 (一)1.C 2.D　3.C　4.D 5.A　6.D　7.B 8.B　9.C　10.C　11.C　12.D　 13.D　14.D　15.D

　　(二)16.±；17.2；18.2kπ＜θ＜2kπ+或2kπ+＜θ＜2kπ+π(k∈ Z)；19.

　　(三)20.解　两圆方程化为：c₁：(x+2)^２+(y-2)^２=13　C2∶(x-4)^２+(y+2)^２=13 ，C₁:c_２圆心分别为(-2，2)、(4，-2)，半径都是，圆心距d==2，即圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，因连心线斜率为k₁==-，解方程组得切点坐标为(1 ，0)，∴公切线方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0,(两圆相外切时，两圆方程相减得根轴方程，即过切点的公切线方程).(2)与两圆相切于点(1，0)的圆圆心必在直线y=- (x-1)上，且(x-1)^２+y^２=(x-2)^２+(y-3)^２，解上面两方程组成的方程组得圆心坐标为(-4，)，r^２=,∴所求圆方程为(x+4)^２+(y-)^２=,即3x^２+3y^２+24x-20y-2 7=0.