椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系

　　高　三　数　学（第23周）

　　椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系

【教学目标】

　　1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题。

　　2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算。

　　3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题。

【知识讲解】

　　例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点A（3，0），求椭圆的方程。

　　分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。

　　解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为，把点A（3，0）代入得

则a²=9，b²=1，所以所求椭圆方程为。

2°若焦点在y轴上，设椭圆的方程为同理可得a²=81，b²=9，此时椭圆的方程为。

说明：求出了焦点在x轴上的椭圆为后，不能简单地认为，焦点在y轴上的椭圆的方程就是。因为椭圆过一定点（3，0），则求焦点在y轴上的椭圆仍应先设出方程，再用代入法求得。

例2、已知椭圆，直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，若k_OA+k_OB=2，求直线斜率k。

解：解方程组消去y，整理得（1+4k²）x²+32kx+60=0

　　△=(32k)²-4×60(1+4k²)=16(4k²-15)>0　 设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)

　 k_OA+k_OB=2等价于　 即y₁x₂+y₂x₁=2x₁x₂

　 即(kx₁+4)x₂+(kx₂+4)x₁=2x₁x₁　　整理得(k-1)x₁x₂+2(x₁+x₂)=0

　 ∵x₁+x₂=　　x₁x₂=　　∴(k-1)+2·=0

　 解之得 k=-15　 满足△>0　　∴k=-15

例3、已知椭圆C的直角坐标方程为，若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于A (x₁、y₁)，B (x₂，y₂)，两点（其中y₁>y₂），且满足，试求直线的方程。

解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0），设的方程为y=k (x-1)，则与C的两个焦点：A (x₁、y₁)，B (x₂，y₂)，y=k (x-1)　　①　 ，①代入②得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ②　

(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0，x₁+x₂= ③ x₁·x₂=　④，由条件

∴，即x₁=3-2x₂  ⑤ ∴x₂=，x₁=，代入④得：k²=，k=±，易见x₁<x₂，因y₁>y₂，故k=　∴方程：y=-

例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率。

　　解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30°，则，∴，∴椭圆的长轴长为8，短轴长为12，，∴离心率。

　　例5、设A（x₁，y₁）为椭圆x²+2y²=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r₁、r₂分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。

　　分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x₁，y₁）到左焦点F₁的距离PF₁=a+ex₁，到右焦点F₂的距离PF₂=a-ex₁；同理椭圆上任一点P（x₁，y₁）到两焦点的距离分别为a+ey₁和a-ey₁，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。

　　解：由椭圆方程可知a²=2，b²=1则c=1，∴离心率，由焦半径公式可知，。又直线的方程为：

即x₁x+2y₁y-2=0，由点到直线的距离公式知，，又点（x₁，y₁）在椭圆上，∴2y₁²=2=x₁²，∴，

∴为定值。

　　

　　例6、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F₁、F₂距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

　　解：假设存在满足条件的点，设M（x₁，y₁）a²=4，b²=3，∴a=2，，c=1，∴，，点M到椭圆左准线的距离，∴，∴，∴或，这与x₁∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。

　　

　　例7、直线：6x-5y-28=0交椭圆（a＞b＞2）于B、C两点，A（0，b）是椭圆的一个顶点，而△ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程。

　

　　解：设BC的中点D（x₀，y₀）,F（c，0）,由定比分点公式可知，，∴，又点D在直线上，∴①

又设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）则　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　 　两式相减得：

，

代入得：，∴2a²-5bc=0 ②　又a²=b²+c²

由①、②可得c=2或。

当c=2时，代入①得b=4，则a²=20，

当时，舍去。

∴所求椭圆的方程为。

例8、焦点在x轴上的椭圆绕上顶点逆时针旋转90°后，一条准线方程为y=，求旋转前后的椭圆方程及它们的焦点坐标。

解：a=，b=3，c=，旋转后椭圆的中心为(3，3)　∴3+=　

　　∴3+=　解之得：m=4或(均满足5m+5>9)

　　∴旋转前椭圆的方程为和 其焦点坐标分别为(-4，0)(4，0)和(-，0)(，0)

　　 旋转后椭圆方程为和

　　 其焦点坐标分别为(3，7)(3，-1)和(3，)、(3，).

　　例9、已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x²+y²-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。

　　解：圆方程x²+y²-2y-8=0即x²+(y-1)²=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。

　　设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。

　　（1）设AB：y=x-2　　 由　y=x-2

　　　　　 CD：y=x+4　　　　　 x²+y²-2y-8=0

　　得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a²=12，b²=4，椭圆的方程为。

　　（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得：，此时b²＞a²（舍去）。

　　综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。

　　例11、曲线2x²+y²=2a²（a＞0）与连结A（-1，1），B（2，3）的线段没有公共点，求a的取值范围。

　　解：（1）若A、B在椭圆外部，则方程2x²+y²=2a²与直线AB的方程2x-3y+5=0组成的方程组无实数解，由 　消去y得

　　　　　　　

22x²+20x+25-18a²=0无实数解，令

解得。

　　（2）若A、B两点都在椭圆内部，显然交点B在椭圆上时是线段AB与椭圆有公共点的最大椭圆此时可解得，∴时，椭圆与线段AB无公共点，故所求a的取值范围是或。

　　例12、AB是椭圆（a＞b＞0）中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：为定值。

　　解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）∴，，

∴，又点A、B在椭圆上，则：

　　∴为定值。

说明：若一条动直线与椭圆相交于两个点A、B，我们常常采用“设点法”设出点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐标，然后把点的坐标代入椭圆的方程，两　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　 

式相减即可得到x₁+x₂，y₁+y₂及x₁-x₂，y₁-y₂的关系了，往往可以简化计算，达到很理想的效果，这种“设而不求”的解题思想在解析几何中有着广泛的应用，我们在学习时要充分注意。

例13、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，PQ=，求椭圆的方程。

解：设所求椭圆方程为，依题知点P、Q的坐标满足方程组　①　∴ (a²+b²)x²+2a²x+a² (1-b²)=0　③，设③的两个根分别为x₁、x₂，则

y=x+1　　　　②

P (x₁，x₁+1)、Q (x₂，x₂+1) ∵OP⊥OQ，PQ=

∴　　x₁x₂=-　∴ 　　　

　　　　　  或　　　　　　　　　　　　  或

　 x₁+x₂=-　 x₁+x₂=-　　　　

∴ a²=2　　 a²=

　　　　 或　　　　故所求椭圆的方程为或

　 b²=　　b²=2，

　　例14、已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为。

　　分析：的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，F₁F₂=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。

　　证明：（1）在中，由正弦定理可知，则 ∴

∴

　　（2）在中由余弦定理可知

　　∴

　　∴。

　　例15、过点作直线与椭圆3x²+4y²=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

　　分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。

　　解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），：

把代入椭圆方程得：，即

　　，，

　　

　　　　　 

　　　　　 

　　∴，此时　　

　　令直线的倾角为，则

　　即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。

【一周一练】

　　一、选择题

1、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则离心率e为[　 ]

　　A. 　　　　　　　B. 　　　　　 C. 　　　　　　　D.

2、如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是[　 ]

A. （0，+∞）　　　　 B. （0，2）　　　　C. （1，+∞）　　　　D. （0，1）

2、曲线与曲线之间具有的等量关系：[　 ]

　　A. 有相等的长、短轴　　　　　　　　 B. 有相等的焦距

　　C. 有相等的离心率　　　　　　　　　 D. 有相同的准线

　　4、P是椭圆上的一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△F₁PF₂的面积等于[　 ]

　　A. 　　　　 B. 　　　C. 　　　D. 16

5、设一动点P到直线x=5的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P的轨迹方程是[　 ]

　　A. 　　　　　　　　　　 B. 　　

　　C. 　　　　　　　　D.

6、设θ∈()，则关于x，y的方程x²cscθ-y²secθ=1所表示的曲线是[　 ]

A. 实轴在y轴上的双曲线　　　　  B. 实轴在x轴上的双曲线

C. 长轴在y轴上的椭圆　　　　　  D. 长轴在x轴上的椭圆

7、椭圆25x²-150x+9y²+18y+9=0的两个焦点坐标是[　 ]

A.(-3，5)(-3，3)　　　　　　　　 B.(3，3)(3，-5)

C.(1，1)(-7，1)　　　　　　　　  D.(7，-1)(-1，-1)

8、曲线y=与直线y=k(x-1)+3有交点时，实数k的取值范围是（　 ）

A.(-∞，-7]∪(3-，+∞)　　　  B.[-7，3-]

C. (-∞，-7]∪[1，+∞)　　　　　  D. [-7，1]

　　二、填空题

　　9、过椭圆x²+2y²=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为 ________________。

　　10、椭圆C与椭圆，关于直线x+y=0对称，则椭圆C的方程是___________________。

11、到两定点F₁(3，0)，F₂(9，0)的距离和等于10的点的轨迹方程是　　　　　  。

　　12、已知椭圆的离心率，则a的值等于 _________。

　　三、解答题

　　13、△ABC中三边长度AB、BC、CA成等差数列，若B、C两点的坐标分别为B（3，0）C（-3，0），求顶点A的轨迹。

14、已知椭圆的焦点F₁（-1，0）和F₂（1，0），直线x=4是椭圆的一条准线，（1）求椭圆的方程；（2）设点P在这个椭圆上，且PF₁-PF₂=1，求cos∠F­₁PF₂的值。

15、已知椭圆，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足OQ·OP=OR²，当P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

　　16、已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点A、B，且线段AB恰被直线平分？若存在，求出直线倾角的取值范围；若不存在，请说明理由。

　　17、设椭圆的中心是原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P距离等于的点的坐标。

18、设椭圆C₁：（a>b>0），曲线C₂：y=，且C₁与C₂在第一象限内只有一个公共点P，（1）试用a表示P的坐标；（2）设A、B是椭圆C₁的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积，函数s (a)的值域；（3）证min{y₁，y₂……y_n}为y₁、y₂……y_n中最小的一个，设g (a)是以椭圆C₁的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a)=min{g(a)，s (a)}的表达式。

【一周一练答案】

  一、选择题

  1. A　　2. D　　3. B　　4. B　　5. C　　6. C　　7. B　　8. A

  二、填空题

  9. 　　　　　　　　　　　　　10.　　

 11. 　　　 12. 4或

  三、解答题

  13. 除点（6，0）（-6，0）　14. 1）　　2）cos∠F₁PF₂=

  15. ，其中x、y不同时为零，轨迹是以（1，1）为中心，长短半轴分别为和，且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点

  16. x∈（60°，90°）∪（90°，120°）

  17.椭圆方程为；　椭圆上点(-，-)和(，-)到P点的距离都等于。

  18、1）P（）

　　　2）s (a)的值域为（0，）

　　　3）　　　　　　　　　　　　　 a²－　　<a≤

　　　f (a)=min{g (a)， s(a)}=　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　  　 a>