选择题的应对策略

选择题的应对策略

复习目标：通过复习进一步掌握选择题的几种常见解法，要求在解选择题时做到一快，二准

一、答题要求

从命题的角度来看，一份数学试卷中的选择题都是用直接法求解，决不是一份好试卷，由于选择题不仅要担负检测“三基”的牢固程度，还担负着检测学生的思维敏捷灵活、快速的程度，故常要用到估算法、特例法、直觉思维法等等；从考试角度来看，一位同学解答一份试卷中的选择题都用直接法求解，往往导致“小题大作”，也决不会得到理想的分数，由于在解选择题过程中用时过多，就挤掉了后面考虑难题的时间，就是一种潜在丢分或隐含失分. 因此研究选择题的得分技巧必须做到：简捷快速．如何才能做到“简捷快速”，首先要了解选择题的三个特点：结构特征、担任角色及解法要求，然后才能有的放矢、抓住要害、获得简解.

选择题的结构特征与常规的解答题一样，有前提因素和结论因素，但更有自己的独特地方，可细分为四部分.

前提的组成是解题的信息源，它包含了三个部分：

⑴统一前提——所有的选择题的共同说明词，即“在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的”. 也就是在四个选项中“有且只有一个正确”的单项选择题.

⑵具体前提——即题干，类似于解答题中的已知条件.

⑶选择前提——四个可供选择的答案，亦称选项，其中三个选项是错误的. 这是一个独特的条件，既有结论因素，又不象证明题那样明确指出，但确实有一个正确选项.

结论是第四部分，既简单又独特.

⑷选择结论——填上代号，就是根据“统一前提”、“具体前提”、“选择前提”找出结论的代号.

选择题的角色要求，对于知识要求包括了解、理解、掌握等三个层次，总体来说属于基本题，平均得分率0.7左右，具有单、多、广、活等特点，即内容比较单一、数量比较多、覆盖面比较广、题型（取材）比较活泼. 其作用是考查 基础知识的的是否理解，基本技能的是否熟练，基本运算是否准确，基本方法是否会用，考虑问题是否严谨，解题速度是否快捷.

据近年高考选择题命题特点是“多考一点想，少考一点算”，以及选择题的结构特征和知识特征，则其解法要求是要做到“小题小(巧)做”，避免“小题大(难)做”.否则就是潜在丢分或隐含失分.下面举例说明．

例1(2001年全国高考题) 过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x＋y_－2＝0上的圆方程是（ ）

(A) (x－3)²＋( y＋1)²＝4(B) (x＋3)²＋( y－1)²＝4

(C) (x－1)²＋( y－1)²＝4 (D) (x＋1)²＋( y＋1)²＝4

解法1：(小题大做)

设圆的方程为，根据题意，得

，解得，故选(C)．

解法2：(小题大做)

设圆的方程为＝0，根据题意，得

，解得D＝E＝F＝_－2，故选(C)．

评注解法1、2是利用圆的标准方程和一般方程求解与做一道解答题没有任何区别，选择题的特点体现不出来，是“小题大做”．

解法3：(小题小做)

因圆心在直线x＋y_－2＝0上，设圆心为(a，2_－a)，又A、B在圆上，由圆的定义，有

＝

解得a＝1，圆心为(1，1)，排除(A)、(B)、(D)，而选(C)．

解法4：(小题小做)

由选项(B)、(D)的圆心坐标不在直线x＋y－2＝0上，故排除(B)、(D)；又选项(A)的圆不过点，又排除(A)，故选(C)．

评注 解法3、4对知识的理解程度及选择题的特点已有所理解，由于四个选项的半径相等，只是圆心不同，故只需考虑圆心坐标即可，有解法3；解法4是利用逆推验证法．

解法5： (小题巧做)

由选项知，只要估算出圆心所在的象限即可．显然圆心应在线段AB的垂直平分线（即一、三象限的角平分线）上，又在直线x＋y－2＝0上，画草图知，交点（即圆心）在第一象限内，故选(C)．

例2在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₅a₆＝9，则log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a₁₀＝（）

(A) 12(B) 10(C) 8 (D) 2＋log₃5

解法1(小题难做)从已知条件中求出a₁，q(或说a_n的表达式)，从而逐项求出log₃a₁，log₃a₂，…，log₃a₁₀，再相加．由于条件中a₅a₆＝9不能唯一确定一个数列，故此法无法办到．

解法2(小题大做)由已知9＝a₅a₆＝(a₁q⁴)(a₁ q⁵)＝，则

a₁a₂…a₁₀＝＝＝3¹⁰．

故原式＝log₃(a₁a₂…a₁₀)＝log₃3¹⁰＝10，因而选(B)．

评注此解法与做一道数列解答题没有任何区别，是典型的“小题大做”．

解法3(小题小做)由已知9＝a₅a₆＝a₄a₇＝a₃a₈＝a₂a₉＝a₁a₁₀，

故原式＝log₃(a₅a₆)⁵＝log₃3¹⁰＝10，因而选(B)．

评注此解法对等差数列知识的理解有所深化，但仍没有充分利用选择题的结构特点和回答方式上的特点．

解法4(小题巧做)由结论暗示，不管数列{a_n}的通项公式是什么(有无穷多个)，答案都是唯一的，故只需取一个满足条件的特殊数列a_n＝3，知选(B)．

从上面两例可以看出，解题是有技巧可言，不同方法技巧的选择，会影响解题的速度. 小题巧(小)解能节省大量时间，能在一二分钟内解决问题, 甚至是十几秒. 如何才能做到此点，下面例析快速选择技巧．

二 、快速选择技巧

基于选择题的特点，解选择题有两条重要思路：一是肯定一支，二是否定三支 .下面例析如何运用此两条思路，进行选择题的快速选择

1、 直接选择法

直接从题设出发，通过推理和准确的运算得出正确的答案再与选择的答案支对照比较，从而判定正确选择支。它一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择。它又可分为两个层次：

①直接判定法

有些选择题结构简单，常可从题目已知入手，利用定义、定理、性质、公式直接指出正确答案。多用于解答有关基本概念或简单性质辨析的选择题。

②求解对照法

对于涉及计算或证明的选择题，有时可采用求解对照法。其基本思想是把选择题当作常规题来解，然后与题目选择支相对照，选出正确答案。

例3设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数图象关于对称，那么第三个函数是　 （ C ）

（A） （B）　（C）　（D）

解：故选（C）

例4、设都是正数，且，那么　　　　　　　　　 （ B ）

（A）　（B）　（C）　（D）

解：令=k，取对数，由

可得，　故选（B）

2、 估算选择法

估算是用于解答选择题的一种简捷方法，它是指通过大体估值、合理猜想或特殊验证等手段，准确、迅速地选出答案的方法．充分体现了小题小（巧）做的解题策略．在近年高考的“多想少算”命题思想中，“估算法”更是解决此类问题的有效途径，常有以点估式（图）、以部分估整体、以范围估数值等．

例5(1999年全国高考题)如图1，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为（）

A. B. 5C. 6D.

图1

分析：本题的背景是非典型的多面体，需对图形进行分解、组合．连EB、EC，得一个四棱锥E—ABCD和一个三棱锥E—BCF，结合选项可知：用易求的部分体积“四棱锥E—ABCD”估整体法，极其简捷．

解： 本题可用部分估整体法，连EB、EC，则易得

故排除A、B、C，应选D

评注：以部分估整体是指欲求结论由若干部分（或元素）构成时，研究易求的部分（或元素）而进行排除错肢，从而快速选答．

例6若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值不可能是　（　）

A、　 B、　 C、　 D、

例7正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）

A. B. C. D.

分析：此题如“不看选项，只看题干”，则变成普通的求解题，可以预见运算量不少，恐怕很难心算而得到结果，然而将“题目与四选项相结合”，用范围来估算，几乎人人都能一望而答——这就是估算法的魅力．

解：外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不是它的约6倍（C）或约9倍（D），也不可能与其近似相等（A），故选B．

3、 特例选择法

高考数学选择题是四选一型的单项选择题，对于条件或结论是一般性问题，“特例选择法”是行之有效的方法．此法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊数列等等），进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题目的．

例8(2002年全国高考题) 不等式(1＋x)(1_－│x│)＞0的解集是（ ）

(A) {x│0≤x＜1} (B) {x│x＜0且x≠_－1}

(C) {x│_－1＜x＜1} (D) {x│x＜1且x≠_－1}

分析 本题若用直接法，需分类讨论，计算量大且易出错．而用特殊值法，则能省时又省力．

解：取x＝0、_－2，显然是原不等式的解，故排除(A)(B)(C)，而选(D)．

例9若a,b,c成等比数列，m为a、b的等差中项，n为b、c的等差中项，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　）

A、4　　 B、3　　C、2　　D、1

例10（1997年高考试题）不等式组的解集是　　　　　　　　　 （ C ）

（A）　　　　　  （B）

（C）　　　　  （D）

题目设计的四选择支数据：2、、2.5、3四个数值非常接近。让学生不易取值排除。但聪明的发现将x=代入能使不等式两边相等为，考虑不等式解与方程有关，猜答案为（C）

4、 特征选择法

特征分析选择法是指通过认真地审题，深入挖掘问题的不同特征，将隐含条件、内部结构等显露出来，从而把握住问题脉搏、优化思维，开拓快速解题的捷径．我们可从以下几个方面去分析：条件特征的分析、结论特征的分析、位置特征的分析、结构特征的分析、语言特征的分析等．

例11(1999年全国高考题)若，则的值为（）

A. 1　　B. 　　 C. 0　　D. 2

解：考察待求式结构

恰是条件结构中，取特殊值与时的积．

即，故选A

说明：纵观问题的条件与结论，某些命题的已知数式结构中常常隐含着某种特殊的关系，通过细致而敏锐的观察，进而联想转化，可实现解题的选择．

例12设

A、　 B、　 C、　 D、　　　　　　　　　　　  （　）

5、直观选择法

直观选择法就是通过数形结合的方法，借助图形的直观性，迅速作出判断的一种解题方法．常用的图形有：韦恩图、数轴、三角函数线、函数的图像、方程的曲线、几何图形、表格等．

例13已知α为锐角，且cosα=3/5,cos(α+β)=-5/18,那么β是第（　 ）象限的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A、一　　　 B、一或二　　　 C、一或三　　D、二或三

6、结论选择法

由于高考命题原则是“源于教材，而略高于教材”，加上选择题是不必说明理由等特点. 在数学学习过程中可总结出略高于教材的真命题，但又不是课本中的定理、公式，故我们称它们为规律性结论. 利用它可大大简化解题过程，掌握一定量的规律性结论是很有必要的．对于规律性同学们可根据自己的实际情况加以总结．

例14(1998年全国高中数学联赛题)各项都是实数的等比数列{a_n}，前n项的和记为S_n，若S₁₀＝10，S₃₀＝70，则S₄₀等于（）

(A) 150  (B) －200　(C) 150或－200　(D) 400或－50

分析 等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，则得等比数列又一一求和公式S_m+n＝S_m＋q^mS_n．

解法1由“另一求和公式”，得S₄₀＝S₃₀＋q³⁰S₁₀．

又S₃₀＞0，q³⁰＞0，S₁₀＞0．

∴ S₄₀＞0，排除(B)、(C)、(D)，而选(A)．

解法2由公式，得S₃₀＝S₂₀＋q²⁰S₁₀＝S₁₀＋q¹⁰S₁₀＋q²⁰S₁₀．

从而有q²⁰＋q¹⁰_－6＝0，解得q¹⁰_＝2．

∴ S₄₀＝S₃₀＋q³⁰S₁₀＝70＋8×10＝150，选(A)．

7、逆代验证

例15、（1994年高考文科卷）如果函数的图象关于直线对称，那么　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ D ）

（A）　　 （B）-　　  （C）1　　　 （D）-1　　

分析：本题难度系数0.3。许多人在化到不知如何下手。应注意其对称轴过图象波峰波谷，即最值处。将代入有

。采用将各值代入验证排除更易推出选（D）

例16若向量m=（2,0）,n=（3,0）,a-m=,a-n=4,则向量a为　 (　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A、(-3,±4)　　B、(4, ±3)　  C、(3, ±4)　　D、(-4, ±3)

8、逻辑分析

根据提供的选择支结合题意，通过分析确定正确答案。

例17已知集合，那么为区间　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ A ）

（A）　 （B）　（C）　 （D）

解：（A）（C）排斥，（B）（D）排斥，在（B）中取无意义，排除（B），在（D）中取排除（D）同时也排除（C）　故选（A）

例18下列四个命题中的假命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A存在无穷多个，使得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

B不存在无穷多个，使得

C对任意，使得cos()=

D、不存在这样的

三、解题注意点

解题时，若根据题设推出的结果与选择支都不相同，说明解题有误，须认真检查每个解题环节，找出错误的原因。有时由于概念不清或计算不慎，所得结果与某一干扰支相同，这样陷入“陷阱”。为识破命题者的“陷阱”，提高解选择题的正确率，再强调以下几点：

1、审题要仔细

审题时要逐字逐句推敲，分析隐含条件，掌握关键词句。

例19、已知x₁,x₂是方程的两实根，则

最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ B ）

（A）19　　　　（B）18　　（C）　　（D）不存在

分析：由若忽略两实根的约束，易错选（A）

事实上解出时，最大值为18

例20、已知求的值　　　　　　　　 （ C ）

（A）　 （B）　 （C）　 （D）

解：若充分注意到题设中的隐含条件，可判断

，从而判定，可直接选出（C），避免了产生增根错选（A）

2、基础要牢靠

选择题小、巧、活的特点。是检查基础知识，考察判断力的好题型。为解题正确而迅速，必须牢固掌握教材中的基础知识。概念不可混淆不清，性质不可似是而非，方法不可模棱两可。

例21、若函数f(x+1)的定义域是[1，2]，f(x-2)的定义域是　 （ B ）

（A）[3，4]　 （B）[4，5]　 （C）[2，3]  （D）[-2，-3]

分析：对函数定义域及复合函数的意义要充分理解，才不至模棱两可。

3、分析要全面

分析不全面，有时会使符合题意的解出现重复或遗漏，有时又会让不合题意的解鱼目混珠。

例22、与空间四点等距的平面至少有　　　　　　　　　　　  （ D ）

（A）1个　　（B）3个　　 （C）4个　　 （D）7个

例48、（97年）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ D ）

（A）150种　 （B）147种　 （C）144种　 （D）141种

解：本题为近年高考中得分最低的选择题。任取4点有种，其中4点共面的情况有三类。一类：4点位于四面体的同一面内，有种;二类：中位线构成的平行四边形，有3种;三类：取一棱上3点及对棱的中点，有6种。（最易忽略）故取法有：--3-6=141，选（D）

例23、从1~9这九个数字中任取两个不同的数分别作对数的真数和底数，可得不同的对数值有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ B ）

（A）32　　　 （B）53　　　（C）57　　 （D）72

例24、若函数的图象在x轴上方，则实数的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　制　( B )

（A）(1,19)　 （B）[1,19)　 （C）[1,19]　（D）以上不对

略析：一定要考虑函数退缩为常函数也满足条件，故选（B）

例25、长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，A₁A=1，则从A点出发沿表面到C₁的最短距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ C ）

（A）　　 （B）　　 （C）　　 （D）

略析：侧面展开要考虑到两种路径再比较大小。选（C）

4、方法要灵活

不要把选择题简单地等同于填空题、计算题、证明题。要充分注意用题目提供的信息，灵活运用各种解法，避繁就简，才能事半功倍。

例26、P是边长为2的正方形内切圆圆周上一点，P对正方形两对角线视角分别是，则的值　　　　　　　　　　　　　　　　  （ C ）

（A）2　　　　（B）4　　　　（C）8　　　　 （D）

解：抓住特点用特殊值法，可迅速求解。不妨取P点为正方形对角线与它的内切圆的交点，不难求得：，代入得=8

例27、曲线与直线有两交点时，实数的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ A ）

（A）　　（B）　 （C）　 （D）

解：首先数形结合作出两函数图象，前者为圆心为（0，1）半径为2的上半圆，后者为过定点（2，4）的直线系。如图。有两交点需故排除（B）、（D）。那么切线到底是，由选择支中反复出现的已暗示了答案可能是（A），可进一步代值，由圆心到直线的距离等于半径来验证　故选（A）

y　　　　　　　　　　　   P　　　　  C　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A　　　　　 B　　　　　　　　　　　　　　　　 O　　　　 X

例28、梯子10级，一步上一级或2级，规定8步走完有多少种走法　　　　　　　　　 （ B ）

（A）　（B）　（C）　 （D）

解：设2级需x步，1级y步，有x=2,y=6即10=22+61，进一步研究2步2级的不同位置，故为。选（B）

四、选择题练习：

1、x²+y²－4x+2y+f=0与y轴交于A、B两点。圆心为C，若，则f的值为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

　　 　　　　D、—3

2、（2000年北京春季高考题）已知函数的图像如图2，则（）

A. B.

C. D.

分析：由图像过特殊点的特征，可得以下式子：

（1），即；

（2），即

（3），即

（4）

（5）当时，，有，即；

（6）当时，，有，得．

巧妙合理地运用以上式子，即可得到多种简洁解法．

解法1：由（2）、（3）解得，又由（6）知，故选A．

解法2：由（2）+（5）得，，即，故选A．

解法3：由（4），比较同次项系数，得，又知，而选A．

解法4：由（4），取特殊函数，得，而选A．

说明：很多抽象的数量关系，一旦转化为具体的图形问题，则思路与方法便从图形中直观地显示出来，反之抓住给出图形过特殊点、特殊位置，往往能优化解题．故抓住图形特征，有助于快速解题．

3、设a、b是满足ab<0的实数，那么　　　　　　　　  （　）

A、a+b>a-b　　　 B、a+b<a-b　  C、a-b<a-b　　　D、a-b>a+b

4、正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角为　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　）

A、　90⁰　B、60⁰　C、45⁰　D、30⁰

5、对 任何α∈(0,π/2),都有　　　　　　　　　 （　）

A、sinsinα<cosα<coscosα　　B、sinsinα>cosα>coscosα

C、sincosα<cossinα<cosα　　D、sincosα<cosα<cossinα

6、(2002年北京高考题) 已知f(x)是定义在(_－3，3)上奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是（）

(A)(_－3，_－)∪(0，1)∪(，3)

(B) (_－，_－1)∪(0，1)∪(，3)

(C)(_－3，_－1)∪(0，1)∪(1，3)

(D) (_－3，_－)∪(0，1)∪(1，3)

分析：直接解此不等式，显然较难且是小题大做．本题可取特殊值法排除错支，而得到正确答案．

解：取x＝_－2，则有f(x)cosx＝f(_－2)cos(_－2)＝_－f(2)cos2＞0，即x＝_－2，不满足f(x)cosx＜0，故排除(A)(C)(D)，而选(B)．

7、在各项均为正数的等比数列{ a_n}中，若a₅a₆=9,则log₃a₁+log₃a₂+……+log₃a₁₀等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　（　）

A、12　　　B、10　　　 C、9　　　　D、2+log₃5

8、 (2003年北京春季高考题)若A，B，C是ΔABC的三个内角．且A＜B＜C(C≠)，则下列结论正确的是（）

(A) sinA＜sinC (B) cosA＜cosC

(C) tanA＜tanC (D) cotA＜cotC

分析：本题可用取特殊三角形排除错支，而得到正确答案．

解：取A＝30°，B＝40°，C＝110°，显然排除 (B)、(C) 、(D)，而选(A)．

9、1、2、3、4、5五个数字，可以组成比20000大，并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数（　）个。

A、96　　　 B、78　　  C、72　　 D、64

10、在某两个正数x、y之间，若插入一个正数 a,使x、a、y成等比数列，若插入两个正数b、c，使x、b、c、y成等差数列，则关于t的一元二次方程bt²-2at+c=0　　 （　 ）

A、　两个相等实根　B、有两相异实根

C、无实根　　　　 D、有两个相等实根或无实根

11、在等差数列{a_n}中，已知a_n=m，a_m=n（nm，m、nN），则a_m+n=　　（　）

A、0　 B、m　 C、n　 D、n+m

12、小船在相距S的两地A、B之间航行，若已知小船在静水中航速为V，河水流速为U，则小船在A、B之间往返一次，其平均速度为　　　　　　  （　）

A、大于V　 B、小于V　 C、等于V　 D、无法判断

13、设a、b是空间的两条直线，它们在平面上的射影是两条相交直线，它们在平面　上的射影是两条平行直线，它们在平面上的射影是一条直线与直线外的一点，则这样的平面有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　）

A、0　 B、1　C、2　D、无数多个

14、已知　　　　　　  （　　 ）

A　　 B 　　 C 　　D  

15、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值为　　（　 ）

A、2　　　　 B、3　　　　C、4　　　 D、6

16、已知f(x)=且f(-1)=1.62,则f(1)的值约为　　 （　 ）

A 0.38　　　　B 1.62　　　 C 2.38　　　 D 2.62