数学奥林匹克高中训练题（22）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题27) 方程
的实根个数是(A)．
(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 大于2
2．(训练题27)
的切线交
轴于
、交
轴于
，则
的最小值为 (B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
3．(训练题27)在
中，
．则
的范围是(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
4．(训练题27)设
，且对
的所有元素，有
均为偶数．则从到
的映射
的个数是(C)．
(A)7 (B)10 (C)12 (D)15
5．(训练题27)复数
满足
，且
．则以四个复数对应的点为顶点的四边形一定是(D)．
(A) 梯形 (B) 正方形 (C) 平行四边形 (D) 矩形
6．(训练题27)一只猴子在一架共有
级的梯子上爬上爬下，它每次或者上升16级，或者下降9级．如果它能从地面爬到最顶上一级，然后又回到地面则的最小值是(C)．
(A)22 (B)23 (C)24 (D) 大于24
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题27)
1 ．
2．(训练题27)设
，且
，集合
，又
．则满足
的
的个数是 
．
3．(训练题27)如图，
是正方形，
是
的中点，如将
和
分别沿虚线
和
折起，使
和
重合，记与重合后的点为
，则面
与面
所成的二面角为 
．
4．(训练题27)设
为所有满足
的整数的集合，
为所有满足
的整数的总和等于 
．
5．(训练题27)在不透明的正方体的每一个面上都写着一个自然数，如果正方体的几个(一个、两个或三个)面可以同时看见，则求出这几个面上的数之和．用这种方法最多能够的到 26 个不同的数．
6．(训练题27)设正整数列
是等比数列，其公比
不是整数而且
．这样的数列中
可取到最小值是
27 ．
三、(训练题27)(本题满分20分)三棱锥
的底面是正，这个三角形的边长为4．又已知
，而
．求这个三棱锥的外接球的表面积． 
四、(训练题27)(本题满分20分)函数
定义如下：
，
．设在
上使
取最大值的的个数为
，取最小值的的个数为
．试把和用表示，并用数学归纳法证明．
五、(训练题27)(本题满分20分) 设
．求证：如果
，且
，那么一定存在
，使得
．
第二试
一、(训练题27)(本题满分50分)设是圆内接四边形，
的角平分线交于，过作平行于
的直线，与
交于
，与
交于．求证：
．
二、(训练题27)(本题满分50分)已知两条对称轴互相平行的抛物线
和
，它们相交于两点
和
，在上任取
个点
，在上取这样个点
，使
．求证：
．
三、(训练题27)(本题满分50分)证明：对任意的
，都存在个互不相等的自然数组成的集合，使得对任意的
和
，
都可以整除．