数学奥林匹克高中训练题（24）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题29)
(D)．
(A)
(B)
(C)
(D)
2．(训练题29)复数
满足
且
，则这样的复数有(D)．
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
3．(训练题29)已知
都是正实数．则
且
是
且
的(B)．
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分件 (C)充要件 (D)既不充分也不必要条件
4．(训练题29)是两个正整数，最小公倍数为465696．则这样的有序正整数对
共有(D) 个．
(A)144 (B)724 (C)1008 (D)1155
5．(训练题29)方程
的根是
和
．则在
坐标平面上，点
的图形是(B)．
6．(训练题29) 对一个棱长为1的正方体木块
，在过顶点
的三条棱上分别取点
，使
．削掉四面体
后，以截面
为底面，在立方体中打一个三棱柱形的洞，使棱柱侧面都平行于体对角线
．当洞打穿后，顶点C处被削掉，出口是一个空间多边形．则这个空间多边形共有(B) 条边．
(A)3 (B)6 (C)8 (D) 9
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题29)
，
．则
被3除的余数是 1 ．
2．(训练题29)函数
是
上定义的函数，且
的解集为
的解集是空集，则不等式
的解集是 
．
3．(训练题29)棱锥
的底面是正三角形
，侧面
垂直于底面，另两个侧面同底面所成的二面角都是
，则二面角
的值是 
( 用反三角函数表示)．
4．(训练题29)若
，则函数
的最小值等于
．
5．(训练题29)六个正方形
放置如图所示，若
三个正方形面积之和为
三个正方形面积之和为
，则
3
．
6．(训练题29)已知
是一个直角三角形三边之长，且对大于２的自然数
，成立
．则
4 ．
三、(训练题29)(本题满分20分)棱锥中，
．试求棱锥体积的最大值．
四、(训练题29)(本题满分20分)数列
,适合条件
，当
时，
，证明
．
五、(训练题29)(本题满分20分)已知和
都是关于
的二次三项式，证明：方程
不能有根１，２，３，４，５，６，７，８．
第二试
一、(训练题29)(本题满分50分)有限数集
的全部元素的乘积，称为数集的“积数”．今给出数集
，试确定
的所有偶数个（2个，4个，…，98个）元素子集的“积数”之和的值．24.255
二、(训练题29)(本题满分50分)凸四边形
的对角线交点为
．证明：是圆外切四边形的充分必要条件是
、
、
、
的内切圆半径
满足关系式
．
三、(训练题29)(本题满分50分) 
；
是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的两种不同的排列．证明：
中至少有两个被11除所得的余数相同．