数学奥林匹克高中训练题（25）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题30)设
，则从
到的映射中，满足
的个数是(C)．
(A) 1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个
2．(训练题30)在顶点为
，
，
，
的正方形
(包括边界)中，整点的个数为(B) 个．
(A) (B) (C) (D)
3．(训练题30)设
，那么(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
4．(训练题30)在四面体
中，面
及
都是边长为
的等边三角形，且
分别为棱
的中点，则
与
在四面体上的最短距离为(A)．
(A) (B)
(C)
(D)
5．(训练题30)已知三个三角形
的周长分别为
．若
，且较小的两个三角形
和
可以互不重叠地放入大三角形
的内部，则
的最大值是(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
6．(训练题30)以正
边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于(D)．
(A)
(B)
(C)
(D)非上述答案
二、填空题（本题满分42分，每小题7分）
1．(训练题30)设
，且
，其中是不小于3的自然数，则形如
的全体分数之和为 
．
2．(训练题30)在
中，已知三个角
成等差数列．若其对边分别为
，并且
等于
边上的高
，则
．
3．(训练题30)若
，则
．
4．(训练题30)在中，
在
上，
，
在
上，
，延长
交于
，则
．
5．(训练题30)数列
满足
，则通项
．
6．(训练题30)已知集合
，从中选3个元素，
中选2个元素，能够组成
90 个有5个元素的新集合．
三、(训练题30)(本题满分23分)已知是抛物线
的动弦
上的点，
为坐标原点，
，求点的轨迹方程．
四、(训练题30)(本题满分24分)黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作：(1)将某个数重写一遍；(2)将两数相加，写上和数.试证明：①119这个数永远不会出现在黑板上；②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．
五、(训练题30)(本题满分25分)已知
，求证：对一切
．均有
等号当且仅当
时成立．
第二试
一、(训练题30)(本题满分50分)已知
为任意凸四边形，分别以
为边在四边形外作正
和正
；以为底边在四边形作顶角为1200的等腰三角形
和
．求证：
，且
．
二、(训练题30)(本题满分50分) 若干个同学参加数学竞赛，其中任何
个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友），问有多少同学参加数学竞赛．
三、(训练题30)(本题满分50分)
是个循环小数，
表示的小数点后第k位开始，连续
位上的数字之积，证明存在自然数
，对任意的
均有
．