数学奥林匹克高中训练题（36）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题36)给定三个二次三项式：P1(x)=x2+b1x+c1，P2(x)=x2+b2x+c2，P3(x)=x2+b3x+c3. 则方程P1(x)+ P2(x)= P3(x)至少有(C)个根．
(A)4 (B)6 (C)8 (D)以上都不对
2．(训练题36)函数
在区间
上是减函数. 则a的取值范围是(B)．
(A)0≤a≤2 (B)
≤a≤2 (C)0≤a≤2或a≤－4 (D)≤a≤2或a≤－4
3．(训练题36)空间中有九个点，其中任四点不共面，在这九点间连接若干条线段，使图中不存在四面体. 则图中最多有(D)个三角形．
(A)21 (B)24 (C)25 (D)27
4．(训练题36)设A={(x，y) 0≤x≤2，0≤y≤2}，B={(x，y)
x≤10，y≥2，y≤x－4}是直角坐标平面xOy上的点集.
则
所成图形的面积是(D)．
(A)6 (B)6.5 (C)2π (D)7
5．(训练题36)a1，a2，…，a6是和为23的六个两两不同的正整数. 那么a1a2+ a2a3+…+ a5a6+ a6a1的最小值为(B)．
(A)62 (B)64 (C)65 (D)67
6．(训练题36)设
，
与B={(x, y)x－1+2y－2≤a}是直角坐标平面xOy内的点集. 则
的充要条件是(A)．
(A)a≥2
(B)a≥
(C)a≥
(D)a≥3
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题36)平坦的桌面上，放有半径分别1，2，2的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切另外，在桌面上还有一个半径小于1的小木球在三球之间，与桌面相切，且与三木球都外切. 那么，这个小木球的半径为 
．
2．(训练题36)设a1≥a2≥…≥an 是满足下列条件的n个实数：对任何整数k＞0，有 
≥0成立.
那么，p=max{a1, a2,…,an}= 
．
3．(训练题36)m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117. 对于所有这样的m与n，3m+2n的最大值是 37 ．
4．(训练题36)已知点（a，b）在曲线arcsinx=arccosy上运动，且椭圆ax2+by2=1在圆
的外部（包括两者相切的情形）. 那么，arcsinb的取值范围为
．
5．(训练题36)不等式
的解集，是总长为 2 的一些不相交的区间的并集．
6．(训练题36)在四张卡片的正反面上分别写有0与1，0与2，3与4，5与6，将其中任三张并排放在一起组成三位数，总共可得 124 个不同的三位数．
三、(训练题36)(本题满分20分) 证明：（1）对于任何x，数sinx与sin(x+1)中至少有一个大于
；
（2）
．
四、(训练题36) (本题满分20分)通过四面体ABCD的棱AD和BC的中点K、N作平面，交棱CD 点M，交棱AB于点L. 证明：（1）DM∶MC=AL∶LB；（2）面积S△KLN=S△KMN．
五、(训练题36) (本题满分20分)在复平面上有三个点：c1=a+bi，c2=m+bi，c3=a+ni，其中a＞m， n＞b，C1C2C3（这里Ci表示复数ci对应的点）组成一个三角．证明：满足
的复数z所代表的点Z，位于这个三角形的内部．
第二试
一、(训练题36)(本题满分50分)Rt△CDF中，∠D=90°，DO⊥CF，O为垂足. 以C为圆心、CD为半径作一圆，AA′为过O点的圆C的动弦，E为直线A′A上一点，且EF⊥CF．证明：由A、A′至EF的距离的倒数和为定值．
二、(训练题36)(本题满分50分)（1）当0≤x≤1时，求函数
的取值范围；（2）证明：当0≤x≤1时，存在正数β，使得不等式
成立的最小正数α=2. 并求此时的最小正数β．
三、(训练题36)(本题满分50分)（1）对于三点A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)组成的三角形，有x1＜x2＜x3．证明：当d适当小时，点(x2，y2－d)及点(x2，y2+d)，一在形内，一在形外．
（2）S是平面上n(n≥3)个点Ai组成的集合，S中任三点不共线．证明：平面上存在一个含有2n－5个点的集合P，使S中任意三点所组成的三角形内部至少有一个P集中的点. 试问：对于怎样的n点，这样的P集的点数尚可减少？