数学奥林匹克高中训练题（1）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题1)函数
的值域是（ ）
（A）[1，2] （B）（0，2] （C）（0，
] （D）以上都不对
2．(训练题1)已知边长为
的菱形
，
，将菱形沿对角线折成二面角θ，已知
.则两对角线距离的最大值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．(训练题1)方程
的实根的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2
4．(训练题1)已知复数列{an}的通项为
。则
( )
(A)
(B)
(C)1
(D)2
5．(训练题1)以凸
边形的各边为直径作圆，凸边形必能被这个圆所覆盖,则的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）大于5
6．(训练题1)已知一个整系数多项式,某同学求得的结果
。 则他计算错误的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题1)不等式
的解集是
。
2．(训练题1)已知空间三个平面
，
在
与
之间，与的距离为4，与的距离为
，又边长为
的正三角形
，
在平面内，
在平面内，
在平面内，
交平面于
，则
所在平面与这三个平面所成的锐角是
。
3．(训练题1)将一枚硬币掷出，若出现正面，点
就在数轴上移动+1，若出现反面就不动，掷币次数不超过12次，而且点到达了坐标+10就不再掷了，则点到达坐标点+10的所有不同情况共有 种
4．(训练题1)已知直线
经过抛物线：
的焦点，且斜率
，与抛物线交于
两点，
的中点
到直线
：
（
）的距离为
,则
的取值范围是 。
5．(训练题1)设0≤x≤8, 则函数
的值域是
。
6．(训练题1)已知
的最小值为
，则的最大值是
。
三．(训练题1)（本题满分20分）已知
，且
，
，试在平面直角坐标系中画出点
的区域
四．(训练题1)（本题满分20分）已知圆：
.在
轴上取两点
，使得以
为直径的圆与圆外切，求点的坐标，使得对所有满足条件的，
为定角。
五．(训练题1)（本题满分20分）已知奇函数
在
上有定义，且在
上是增函数，
，又知函数
，满足
，
.求 
第二试
一．(训练题1)（本题满分35分）已知的外接圆为圆
依次是弧
, 弧弧,的中点，弦
交于，弦
交于
。求证：
。
二．(训练题1)（本题满分35分）求证：当且仅当a=4m4(m>1)时，对所有的自然数n,n4+a为合数
三．(训练题1)（本题满分35分）有10名男孩，每个男孩的年龄都不超过20岁，有20名女孩，每个女孩的年龄都不超过10岁。证明一定有若干个女孩的年龄之和等于若干个男孩的年龄之和。其中的年龄均取正整数。