数学奥林匹克高中训练题（16）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题21)集合M由两个以上连续自然数构成，其元素之和为1996．这样的集合M（B）．
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 有两个 (D) 有三个以上
2．(训练题21)
，
最小值为
，
最小值为
，
最小值为
，
最小值为
．则
大小关系是（C）
(A) 
(B) 
(C)
(D)
3．(训练题21)若方程
有解，则的取值范围是（D）
(A) 
或
(B) (C) 
(D) 
4．(训练题21)椭圆长轴为6，左顶点在圆
上，左准线为
轴．则椭圆离心率
的取值范围是（A）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
5．(训练题21)设
．
表示
中最大元素为66的子集个数，
表示中最小元素为33的子集个数，
表示中最大元素为最小元素3倍的子集个数．则（B）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
6．(训练题21)设复数z≠1，z13=1．则z1+z3+z4+z9+z10+z12的值为（B）
(A) 有理数 (B) 无理数 (C) 虚数 (D) 纯虚数
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题21)设实数
满足方程
．则
的最大值是____1____．
2．(训练题21)设
是线段
上两点，
，以为斜边任作
．再作
于
，
于
，
于
，
于
．则比值
之最大可能值为___
_____.
3．(训练题21) 动直线
交轴于
，交
轴于
，设
面积
为定值．过原点
作垂线，垂足为
．则点的轨迹方程是 
.
4．(训练题21) 正四棱锥
．延长底面一边
至，使
．过
和棱
中点作一平面，这个平面将四棱锥分为两部分．则这两部分体积之比为____31：29___.
5．(训练题21) 把
写成
的形式，为则自然数。则=______.
6．(训练题21) 从1,2, …, 1996中，选出
个数，使其中任意两数之和不能被这两数之差整除。则的最大可能值是 666
．
第二试
一、(训练题21)（本题满分25分）设
是的整系数多项式
有五个互不相同的整数根．证明：方程
没有整数根．
二、(训练题21)（本题满分25分）空间有
个平面(
),任意两个不平行，任意三个不共线，它们两两交线中，最多能有多少对异面直线？
三、(训练题21)（本题满分35分）过圆外两点
分别作圆的切线
和
(
为切点)．（1）两弦
和
相交于圆内某点P充要条件什么？(2 ) 若和相交于圆内点，过作弦
．求证：
．
四、(训练题21)（本题满分35分）某校有微机台，分别放在个房间，各房间开钥匙互不相同。某期培训班有学员
人(
)，每晚恰有人机房实习操作，为保证每人一台机，至少应准备多少把钥匙分给这个学员，使得每晚不论哪个人进机房，都能用自己分到的钥匙打开一间机房的门进去练习，并按分得钥匙少的人先开门的原则，能保证每人恰可得到一个房间．