数学奥林匹克高中训练题（17）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题22)集合
的真子集的个数是(A)．
(A) 7 (B)8 (C)31 (D)32
2．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．
(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个
3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
4．(训练题22) 函数
的定义域及值域都是
，且都存在反函数，则
的反函数是(B)．
(A)
(B) 
(C) (D) 
5．(训练题22) 若
,则
等于(D)．
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
6．(训练题22) 当
时，
的大小关系是(B)．
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题22) 已知
表示
的反函数，设
．则
的最小值是 
．
2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．
3．(训练题22) 四面体
中，
，则二面角
的余弦值是 
．
4．(训练题22) 设
，在
上定义函数
如下：若
表示不是
的约数的最小自然数，则
16 ．
5．(训练题22)为不超过1996的正整数，如果有一个
，使
成立，则满足上述条件的值共有 498 个．
6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ．
第二试
一、(训练题22)(本题满分25分) 点
是正三角形内一点，证明：由线段
和
为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的
．
二、(训练题22)(本题满分25分) 若
，试求函数
的最小值．
三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数
和
，使得如下不等式成立
．
四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．