数学奥林匹克高中训练题（18）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题23)
除以
所得的余数是(D)．
(A) 
(B) 
(C) 1996 (D) 
2．(训练题23)若在抛物线
的上方可作一个半径为
的圆与抛物线相切于原点
，且该圆与抛物线没有别的公共点，则的最大值是(A)．
(A)
(B)
(C)
(D)
3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．
(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．
(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．
(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．
(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．
4．(训练题23)若
，则
的取值范围是(D)．
(A)
(B)
(C)
(D)
5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)．
(A)
(B)
(C) 
(D) 
6．(训练题23)使得
成立的最小正整数
是(B)．
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题23)设
，若函数
关于直线
对称，且
与
有公共点，则的取值范围是 
．
2．(训练题23)设
且存在
，适合
则
的最大值等于 
．
3．(训练题23)设
，若
，则
等于 
．
4．(训练题23)设
是棱长为1的正方体，则上底面
的内切圆上的点
与过顶点
的圆上的点
之间的最小距离
．
5．(训练题23)如图，在直角坐标系
中，有一条周期性折线（函数）
现把该曲线绕原点按逆时针方向旋转
得到另一条曲线
，则这两条曲线与
轴及直线
围成的图形的面积等于 
．
6．(训练题23)设
都是正整数，且
则
的个位数等于
4
．
第二试
一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集
中，除去某一个点外的所有的点都在圆环
中．
二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线
其焦点为
.试问：是否存在过点的弦
（
均在抛物线上，且
在第一象限内），以及）轴正半轴上的一点，使得
三点构成一个以为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线的方程．
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及点
，构造点列，
，
，使得
为点
绕中心
顺时针旋转
时所到达的位置，而
和
为点
和分别绕中心
和
顺时针旋转
时所到达的位置，
.若对某个
，有
，试求的各个内角的度数及三个顶点
的排列方向．
四、(训练题23)(本题满分35分)设
，
，且
又存在
使得当
时有
，当
时，有
.求证：
．