数学奥林匹克高中训练题（19）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题24) 对于每一对实数
，函数f满足方程
，且
．那么，
的整数
的个数共有(B)个．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2．(训练题24)有六个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的排法种数为(A)．
(A)72 (B)96 (C) 48 (D) 以上都不对
3．(训练题24)在一次体育比赛中，红白两队各有5名队员参加，比赛记分办法是：队员在比赛中获第几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是(C)．
(A)29 (B)28 (C) 27 (D) 13
4．(训练题24)现有下面四个命题：
①底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．
②底面是正三角形，相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
③有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台．
④有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱．
其中，正确的命题的个数是(D)．
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0
5．(训练题24)设
，且对所有正整数，有
．
的值为(C)．
(A)1997 (B)1268 (C)3804 (D)5991
6．(训练题24)
的解
共有(B)组．
(A)4 (B)2 (C)1 (D)0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题24)数列
的前14项是4，6，9，10，14，15，21，22，25，26，33，34，35，38，…．按此规律，则
46 ．
2．(训练题24)函数
的值域是 
．
3．(训练题24)方程
的解是 
．
4．(训练题24)若方程
有一实根、一虚根，则此虚根是 
．
5．(训练题24)平面上有四点
，其中
为定点，且
为动点，且
，记
的面积．则
的取值范围是 
．
6．(训练题24)使不等式
对一切自然数都成立的最小自然数
是
1997
．
第二试
一、(训练题24)(本题满分25分)已知
是椭圆
的左、右焦点，
为半焦距，弦
过焦点
．求
的面积的最大值．
二、(训练题24)(本题满分25分)若
，求证：
．
三、(训练题24)(本题满分35分)已知
是等腰三角形，
是腰上的高线，
的中点为
．求证： 
．
四、(训练题24)(本题满分35分)46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二的选手59人，做对第一、三的选手29人，做对第一、四的选手15人，全做对的3人．存在这样的选手，他做对了前三题，但没有做对第四题．求证：存在一个国家，这个国家派的选手中至少有4个人，他们只做对了第一题．