数学奥林匹克高中训练题（20）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题25)已知函数
的反函数的图象关于点
成中心对称图形，则实数
等于(A)．
(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-4
2．(训练题25)我们把离心率等于黄金比
的椭圆称之为“优美椭圆”．设
＞b＞0)为优美椭圆，
分别是它的左焦点和右端点，
是它的短轴的一个端点，则
等于(C)．
(A)
(B)
(C)
(D)
3．(训练题25)已知
三边的长分别是
，复数
满足
，那么复数
一定是(C)．
(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数
4．(训练题25)函数
的最大值是(D)．
(A)
(B)
(C)
(D) 
5．(训练题25)以
为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于
三点．已知
，
，则
等于(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
6．(训练题25)在集合
的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．
(A)
个 (B)
个 (C)
个 (D) 
个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题25)在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是
和
，则实数
的值是
．
2．(训练题25)设
，
表示不超过实数的最大整数，则函数
的值域是 
．
3．(训练题25)设是直角三角形的三条边长，
为斜边长，那么使不等式
对所有直角三角形都成立的
的最大值是
．
4．(训练题25)如图，正三棱柱
的各条棱长都是1，截面
在棱
上的交点为
，设这个截面与底面
和三个侧面
所成的二面角依次为
，若
，则截面的面积等于 
．
5．(训练题25)已知
是定义域在实数集的函数,且
，则
的值是
．
6．(训练题25)设
是方程
的最大负根，
是方程
的最小正根，那么，使不等式
成立的实数的取值范围是 
．
第二试
一、(训练题25)(本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个
型零件和2000个型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个型零件的时间可加工3个型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77
二、(训练题25)(本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．
三、(训练题25)(本题满分35分)实数数列
满足： 
．若数列
满足：
．求
的最大可能值．
四、(训练题25)(本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面
，顶点
在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．