数学测验题（不等式二）

数学测验题（不等式二）

姓名　　　　　　座号　　　　成绩　　　　　　

一． 选择题：(60分)

1．设实数x₁, x₂, ……,x_n的算术平均数是，若a是不等于的任意实数，并记p=(x₁－)²+(x₂－)²+……+(x_n－)²，q=(x₁－a)²+(x₂－a)²+……+(x_n－a)²，, 则一定有 （ 　 ）。

　（A）p=q　 （B）p>q　 （C）p≥q　 （D）p<q

　2．若不等式x²－log_ax<0在(0, )内恒成立，则a的取值范围是　　　　　 （ 　 ）。

　（A）[, 1)　 （B）(1, +∞)　 （C）(, 1)　 （D）(, 1)∪(1, 2)

　3．已知定义在R上的偶函数y=f(x)在[0, +∞)上为增函数，且f()=0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （  　）。

　（A）(0, )　 （B）(2, +∞)　 （C）(, 1)∪(2, +∞)　 （D）(0, )∪(2, +∞)

　4．不等式ax²+bx+2>0的解集是(－, ), 则a－b等于　　　　　　　　 （ 　 ）。

　（A）－4　 （B）14　 （C）－10　 （D）10

　5．已知x, y∈R, x²+y²+2x<0，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ 　 ）。

　（A）x²+y²+6x+8<0　 （B）x²+y²+6x+8>0　 （C）x²+y²+4x+3<0　 （D）x²+y²+4x+3>0

　6．若x, y∈R, x²－y²=4，则的取值范围是　　　　　　　　　　　  （ 　 ）。

　（A）(－∞, 0)∪(0, +∞)（B）(－1, 1)（C）(－∞, ]（D）(－∞, －2]∪[2, +∞)

　7．若不等式x－4+3－x<a的解集非空集，则a的取值范围是　　　　　  （　  ）。

　（A）(－∞, 1)　 （B）[1,　+∞) （C）(1, +∞)　 （D）(3, 4)

 9．关于函数y=(1－x²)x，下列说法不正确的是　　　　　　　　　　　　　 （  　）。

　（A） 当x∈(0, 1)时, f(x)=(1+x)(1－x)x=x(1+x)(2－2x), 因x, 1+x, 2－2x均为正数，且和为定值3，故f(x)(x∈(0, 1))有最大值

　（B）当x∈(0, 1)时,f(x)=, 因(1－x²), (1－x²), 2x²均为正数，且和为定值2，故f(x)(x∈(0, 1))有最大值

　（C） 方程f(x)=0有且只有三个根

　（D）函数y=的图象以x轴为渐近线

　 9．函数y=lg[x²+(m－3)x+]的值域为R，则m的取值范围是　　　　 （ 　　）。

　（A）(0, 6)　 （B）(－∞, 0)∪(6, +∞)　 （C）[0, 6]　 （D）(－∞, 0]∪[6, +∞)

　10．为使关于x的方程2^x－1+2x²+a=0有两个不同的实数解，可供a选择的取值范围是（　）。

　（A）(－∞, 1)　 （B）(－∞, －)　 （C）(, +∞)　 （D）(1, +∞)

　11．不等式x²－5x+6>x²－4的解集是　　　　　　　　　　　　　　 （ 　　）。

　（A）(－∞, －2)∪(2, +∞)　 （B）[－2, 2)　 （C）(－∞, 2)　 （D）(－2, +∞)

　12．若a>b>1, p=, q=(lga+lgb), r=lg，则　　　　　　（ 　　）。

　（A）r<p<q　 （B）p<q<r　 （C）q<p<r　 （D）p<r<q

　二．填空题：（24分）

13．不等式>x+1的解集是　　　　　　　　 .

14．已知集合M={x }，N={x >0}，则M∩N=　　　　　　　　 .

15．函数y=log_ax在x∈[2, +∞)上恒有y>1，则a的取值范围是　　　　　　　　 .

16．若x, y是正实数，且=10, 则当x－2y取得最大值时，lgx－lgy=　　　　　　　　 .

  三．解答题：（66分）

17．设f(x)=，其中a是常数，(1) 求使f(x)为奇函数时a的值；(2) 在(1)的情况下，解关于x的不等式：f ^－1(x)>log₂(k为正常数).

18．已知f(x)=log_a(1+x) (a>1)，对任意x₁, x₂∈R⁺，求证：[f(x₁－1)+f(x₂－1)]≤.

19．已知n∈N, x∈[0, 1]，判断1+x+x²+……+xⁿ与n+xⁿ⁺¹的大小，并证明你的结论。

20．已知函数f(x)=log_b(x+)的反函数为f ^－1(x)，其中b>0,且b≠1，

(1) 求f ^－1(x)的解析式及其定义域；(2) 设g(n)=f ^－1(n+log_b)，若g(n)<(n∈N)，求b的取值范围。

21．已知c>0且c≠1，数列{a_n}是首项为c，公比也为c的等比数列，b_n=a_nlog₄a_n(n∈N), 若数列{b_n}中存在最小自然数n，使当m>n且m∈N时，恒有b_n>b_m，求c的取值范围和相应的n.

22．已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},……,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，(1) 求第n个集合中最小数a_n的表达式；

　（2）求第n个集合中各数之和S_n的表达式；

　（3）令f(n)=(n≥2)，求证：f(2ⁿ－1)<n；

　（4）求证：f(2ⁿ)≥+1.(n≥2)

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	A	D	C	B	B	C	A	D	B	C	B

13．[－, )　 14．(1, )　 15．(, 1)∪(1, 2)   16．2lg2

17．k≥2时, 解集为(－1, 1)；0<k<2时, 解集为(1－k, 1).　　 18．证明略

19．n≥2时，1+x+x²+……+xⁿ<n+xⁿ⁺¹. 用数学归纳法证明

20．(1) f ^－1(x)=, 0<b<1时，定义域为（－∞, log_b],

b>1时，定义域为[log_b. +∞）;　　 (2) 1<b<3.

21．当c∈(0, ]时, n=1；　当c∈(, 1)时, n=的整数部分或当为整数时

n=－1=.　　22．(1) a_n=n²－n+1;　(2) S_n=n³;　(3) (4) 用放缩法证明略