数学第二次诊断性考试1
数 学 (文史类)
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题) 组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．
第Ⅰ卷(选择题，共48分)
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
；
正棱锥、圆锥的侧面积公式
其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；
球的体积公式 
其中R表示球的半径．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把它选出来填涂在答题卡上．
1．不等式 
的解集是
A．{x︱x＞－2
B．{x︱x＜－2
C．{x︱－2＜x＜1或x＞1
D．{x︱x＜－2或x＞1
2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是
A．
B．
C．
D．
3．若点P在曲线
上移动，经过点P的切线的倾斜角为a，则角a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．设不重合两条直线l1：ax+by+c=0与直线l2：mx+ny+p=0，则an=bm是直线l1∥l2的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论：
①
②
③
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6．已知数列{an}的通项公式是
，其中a、b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是
A．
B．
C．
D．与a、b的取值有关
7．下列各三角函数式中，值为正数的是
A．
B．cos250° C．
D．
8．方程 x (x2 + y2－3) = 0与x2 + (x2 + y2－3)2 = 0所表示的曲线是
A．都表示一条直线和一个圆
B．都表示两个点
C．前者是两个点，后者是一条直线和一个圆
D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
9．设a、b是某一锐角三角形的两个内角，则必有
A．sina＜cosb且sinb＜cosa
B．sina＜cosb且sinb＞cosa
C．sina＞cosb且sinb＞cosa
D．sina＞cosb且sinb＜cosa
10．函数y=x+cosx的大致图象是
 |
A． B． C． D．
11．由方程 
确定的函数y=f(x)在(－∞，+∞)上是
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
12．已知a，b，c∈R，若
，且
，则下列结论成立的是
A．a，b，c同号 B．b，c同号，a与它们异号
C．b，c 同号，a不能确定 D．a，b，c的符号都不能确定
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．已知目标函数S = 2x +
y，则函数S在条件
下的最大值为
．
14．已知
，那么角a是第
象限的角．
15．设a、b、c是△ABC中ÐA、ÐB、ÐC的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，
，则c = ．
16．给出问题：“已知{an}、{bn}是项数相同的两个数列，如果
{3an－2bn}是等差数列，那么{an}、{bn}是不是等差数列？” 某学生的解答如下： 由已知可得： (3an+1－2bn+1)－(3an－2bn)=3(an+1－an)－2(bn+1－bn) =常数，所以an+1－an和bn+1－bn必为常数，故{an}、{bn}是等差数列． 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将需要改的地方(或反例)填在后面空格内． ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分12分) 在等比数列{an}中，已知a6－a4 = 24，a3a5 = 64．求{an}前8项的和S8．
18．(本题满分12分) 已知A是圆x2 + y2 = 4上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B．以A为圆心、AB为半径作圆交已知圆于C、D，连结CD交AB于点P，求点P的轨迹方程．
19．(本题满分12分) 设平面内的向量
, 
, 
，点P是直线OM上的一个动点，求当
取最小值时，
的坐标及ÐAPB的余弦值．
20．(本题满分12分) 一片森林面积为a，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是T年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的25％．已知到今年止，森林剩余面积为原来的
．
(Ⅰ) 问到今年止，该森林已砍伐了多少年？
(Ⅱ) 问今后最多还能砍伐多少年？
21．(本题满分12分) 求函数
的周期和单调增区间．
22．(本题满分14分)
试利用“对数函数y = log
a x在(0，+∞)上的单调性质：0＜x1＜x2 Û log
a x1＜log a
x2 (a＞1)；0＜x1＜x2 Û log a x1＞log a
x2 (0＜a＜1
” 解决下列问题：
已知二次函数f(x)的图象开口向下,且对任意实数x有f(2－x)=f(2+x).
解不等式 
．
第二次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．
CABC BADD CBDA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．2 14．二或四 15．
或
16．不正确，an+1－an和bn+1－bn不一定是常数，如取
等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解 设等比数列{an}的公比为q，依题意， 得
，
①
，
……………… 4分
∴
．
……………… 6分
将
代入到①式，得q2－1=－3，q=－2，舍去．
将
代入到①式，得q2－1=3，q=±2． ……………… 8分
当q = 2时， a1 = 1，
；
当q = －2时，a1 =－1，
．
……………… 12分
18．
解 设点A的坐标为A(2cosa，2sina)，
则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为
(x－2cosa)2 + (y－2sina)2 = 4sin2a．……… 4分
联立已知圆x2 + y2 = 4的方程，相减，
可得公共弦CD的方程为
xcosa + ysina = 1+ cos2a． (1) ………… 8分
而AB的方程是 x = 2cosa． (2)
所以满足(1)、(2)的点P的坐标为(2cosa，sina)，消去a，即得
点P的轨迹方程为x2 + 4y2 = 4． ……………… 12分
说明： 设A(m，n)亦可类似地解决．
19．解 设
．
∵ 点P在直线OM上，
∴
与
共线，而，
∴
x－2y=0即x=2y，有
．
……………… 4分
∵
，
，
∴
= 5y2－20y+12
= 5(y－2)2－8． ……………… 8分
从而，当且仅当y=2，x=4时，
取得最小值－8，此时
，
，
．
于是
，
，
，
∴
．…………… 12分
20．解 设每年砍伐面积的百分比为b (0＜b＜1)．
则
， ∴ 
，
．
(1) 设到今年为止，该森林已砍伐了x年，
∴ 
，
于是 
，表明已砍伐了
年．………… 6分
(2) 设从开始砍伐到至少保留到原面积的25％，需y年．
∴ 
，
∴ 
y ≤ 2T．
因此今后最多还能砍伐的年数为 
．……………… 12分
21．解 
．
……………… 6分
∴ 函数的周期 
．
……………… 8分
当 
≤
≤
，即 
≤x≤
(k∈Z) 时函数单调增加，即函数的增区间是 [，] (k∈Z)．
……………… 12分
22．解 由题意知，二次函数f(x)的对称轴为直线x=2，…… 2分
故f(x)在x∈(－∞，2
上单调递增，在[2，+∞上单调递减．
∵
，
，
∴
，
，
∴
已给不等式可等价地化为 
，
于是得
，
……………… 10分
即 
，
解得
．
……………… 14分