数学高考模拟试题

数学高考模拟试题

　　一、选择题（每小题5分，共60分）

　　1．设全集U＝R，集合，集合，则集合为（　）．

　　A．，　　B．，

　　C．　　　　　　D．

　　2．在下列函数中，值域是（0，＋∞）的函数是（　）．

　　A．　 B．　　C．　D．

　　3．已知直线与圆无公共点，则点一定（　）．

　　A．在圆内　B．在圆外　　C．在圆上　　 D．都有可能

　　4．若，，的值是（　）．

　　A．　　　　B．　　　　　C．-3　　　　　D．3

　　5．函数，且的图象为（　）．

　　　　A　　　　　　　　 B　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　D

　　6．等差数列与等比数列满足：，，则与的大小关系是（　）．

　　A．　　　 B．　　C．　　　 D．

　　7．直线l是双曲线的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l分成弧长为2比1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（　）

　　A．　　　　B．　　　　 C．　　　　 D．

　　8．设函数f（x）的定义域为R，最小正周期为，若

则的值为（　）

　　A．0　　　　　 B．1　　　　　 C．　　　　 D．

　　9．如图，在正四面体S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，则直线EF与SA所成的角为（　）．

　　A．90°　　　B．60°　　C．45°　　　D．30°

　

10．定义在实数集R上的偶函数满足，且在区间，上单调递增，设，，则a、b、c的大小关系是（　）

　　A．　　 B．　　C．　　　 D．

　　11．对于函数，作的代换，则总不改变函数的值域的代换是（　）．

　　A．　　B．　　C．　　 D．

　　12．在轴截面为直角三角形的圆锥内有一个内接圆柱，已知此圆柱的全面积等于该圆锥的侧面积，则该圆锥顶点到圆柱上底面的距离是圆锥母线长的（　）．

　　A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　D．

　　二、填空题（每小题4分，共16分）

　　13．如果抛物线的准线方程是x＝-3，那么这条抛物线的焦点坐标是________．

　　14．圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角表面积的最大值为2，则圆锥的侧面积是________．

　　15．从1到10这10个自然数中任取3个互不相邻的自然数的取法总数是________．

　　16．某工厂产值连续三年持续增长，已知年平均增长率P，若这三年的增长率分别为、、，则的最小值是________．

　　三、解答题（第17~21题每题12分，第22题14分，共74分）

　　17．已知集合，集合，求集合

　　18．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＋b＝10，，

（1）求证：不大于120°；

　　（2）若△外接圆的直径为10，求的值

　　19．已知线段矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）当二面角A-CD-P为45°时，求证：MN⊥平面PCD；

（3）在满足（2）的条件下，若AB＝4，AD＝2，求四棱锥N-ABCD的体积．

　　20．有一个湖泊，上游一河道每天向该湖流入的水，流入的水中含有某种不能自然分解的污染物质．与该湖联通的另一河道每天向下游流出的水也是，湖水始终保持在200万．现假设湖水蒸发和下雨恰好平衡，该污染物与湖水能均匀混合，并测得湖水中该污染物的浓度已达到0.2克/．后来，由于上游治理了污染源，流入湖中的水已不再含有该污染物．

（1）试求上游污染中止后n天，湖水中该污染物的浓度；

　　（2）欲使湖水该污染物的浓度不超过0.05克/的标准，若不采取其他治污措施，湖水需要多少天才能达标？（，

　　21．已知椭圆的焦距为2c，左准线为l，长轴顶点为、，过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线与分别交l于M、N两点

（1）试问在线段（O为原点）上是否能找到一点Q，使得对于上述的点P，恒为直角，若能，求出点Q的坐标；若不能说明理由；

（2）如图，设直线NR与椭圆交于点B，与y轴交于点C，当直线PN的斜率为时，点B恰为线段RC的中点，求此椭圆的离心率．

　　22．已知二次函数R）满足，对任意实数x，都有，且时，总有．

（1）求；

（2）求a，b，c的值；

　　（3）当，时，函数（mR）是单调函数，求m的取值范围．

参考答案

1．C　　2．D　　3．A　　4．A　　5．C　　6．C　　7．D　　8．D　　9．C　　10．D　　

11．B　　12．C　　13．（1，0）　　14．　　15．＝56　　16．3P

　17．，或，又或或（以上a＜0）或

，所以；，所以，即，所以

　　18．（1）由余弦定理：

，由已知a＋b＝10，，ab≤25，则，，因为0°＜C＜180°，所以C≤120°，即不大于120°．

　　（2）由正弦定理：＝2R＝10，得，，C＝60°，或C＝120°，，，

当C＝60°，A＋B＝120°，代入得：，

，当C＝120°时，A＋B＝60°　，，

　　19．（1）取PD的中点E，连接AE、EN，因为EN ，而AM，所以ANME为平行四边形，MN∥AE．则MN∥平面PAD

　　（2）矩形ABCD所在的平面，故，又ABCD为矩形，则所以平面PAD，，AE∥MN，，因为，，则是二面角A-CD-P的平面角，＝45°，△为等腰直角三角形，又E是斜边PD的中点，，则，已证，可得平面PCD．

　　（3）连AC，取AC中点O，连ON，则ON∥PA，且，又PA＝AD＝2，则ON＝1，平面ABCD，故平面ABCD，即NO为四棱锥N-ABCD的高，

　　20．（1）上游污染中止n天后，湖水中污染物浓度为，则可建立关系式：，则，又＝0.2克/，所以

　　（2）设，即02×，则

（天）

　　21．（1）当点P运动到特殊位置（0，b）时，直线的方程为bx＋ay＝ab，求得，同法求得，，设，，，

由解得，推测：椭圆的左焦点F（－c，0）满足条件．证明：设椭圆上任意一点，椭圆的左焦点为F（-c，0），则直线的方程为：，令，求得点N的坐标为，，又直线的方程为：，令，求得点M的坐标为，，则直线MF的斜率，直线NF的斜率，

．因为点，在椭圆上，则，即，所以，所以，即恒为直角（Q与F重合）．

　　（2）直线的方程为，求得，，且Q与F重合．直线BN的斜率，所以直线BN的方程为，点C的坐标为（0，-c），因为B是CF中点，则点B的坐标是，，把点B的坐标代入到椭圆方程中得：1，即，整理得：，，或（舍去），所以

　　22．（1）对任意实数x，都有，所以，又在时，有，故，因此有．

　　（2）因为，，则，，因为，则（当且仅当时取等号）．又因为对任意实数x，都有，所以恒成立，即恒成立故且，因此有，从而

　　（3）

，的对称轴是，因为（mR）在，上是单调函数，所以或