数学奥林匹克高中训练题（32）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题32)设
为整数，则
的值为(B)．
(A) -4或-2 (B) -2或0 (C) 0或2 (D) 2或4
2．(训练题32)
的三边长
满足
. 则
取值范围是(C)．
(A)
(B)
(C)
(D)
3．(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中，异面直线共有(C)对．
(A)114 (B)138 (C)174 (D)228
4．(训练题32)以椭圆
的长轴为底的内接梯形最大面积是(A)．
(A)
(B)
(C)
(D)
5．(训练题32)集合
的五元子集
中，任何两元素之差不为1．这样子集
的个数为(D)．
(A)
(B)
(C)
(D)
6．(训练题32)如图，从
到
（方向只能从左
右或从下上或从左下右上），不同走法路线种数为(D)．
(A)16 (B)18 (C)20 (D)22
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 ．
2．(训练题32)方程
的实数解
．
3．(训练题32)数列
，前1997项之和是
42654
．
4．(训练题32)正三棱锥
底面边长为
，侧棱长为
，
为高
上一点， 
．过作平行于侧棱
及底边
的平面，则平面截正三棱锥所得截面面积为 
．
5．(训练题32)积乘
3
．
6．(训练题32)已知
，且
，时，
．则
75315 ．
三、(训练题32)(本题满分20分)数列
．数列
．若
前
项乘积为
，
前项和为
．求证：
．
四、(训练题32)(本题满分20分)椭圆
上有16个点，顺次为
为左焦点，每相邻两点与
连线夹角都相等
．设
到左准线的距离为
．求
．（3）
五、(训练题32)(本题满分20分)给定六个实数
．令
，
．求证：
．
第二试
一、(训练题32)(本题满分50分)证明：存在一个1997的整数倍，它不超过11位，且各位数字不含有2，3，4，5，6，7．
二、(训练题32)(本题满分50分)正方形
的边长为1，以顶点
为圆心，
为半径作圆，在
上取
，过作圆的切线交
于
，切点为
，连
交对角线
于，连
交
于．求
的长．（
）
三、(训练题32)(本题满分50分)证明：在任意
人中，可以找到两个人
，使得其余
个人中，至少有个人，他们中的每一个，或者都认识；或者都不认识．