数学奥林匹克高中训练题（13）
第一试（总分90分）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．(训练题18)已知集合
…
,…
，且满足
，
.又知集合
则
的关系是（A）
（A）
（B）
（C） 
（D）
Æ
2．(训练题18)若关于
的方程
有实数解，且属于第三象限，则（C）
（A）
≥―arccos
（B）＜
（C）＞arccos
（D）＜＜
3．(训练题18)两枚红色棋子、两枚白色棋子、两枚绿色棋子摆成一圈．则不同的摆法有（B）种
（A）15 （B）18 （C）24 （D）90
4．(训练题18)方程
的正整数解的组数为（C）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．(训练题18)关于的方程
的实根的个数为（D）
（A）1996 （B）4 （C）2 （D）0
6．(训练题18)已知
都是自然数，且
是
的整数倍．则
是一个（B）
（A）完全平方数 （B）完全立方数 （C）完全四次方数 （D）素数
二、填空题（每小题9分，共54分）
1．(训练题18)中国足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．则在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达 46 分．
2．(训练题18)若
＜2 ，则使关于的函数
为偶函数的 
的个数是 10 个．
3．(训练题18)在平面上，一条抛物线至多把平面分成两部分，两条抛物线至多把平面分成七部分．则10条抛物线至多把平面分成 191 部分．
4．(训练题18)过双曲线
的右焦点作直线
交该双曲线于
两点．如果
，则这样的直线的条数为 3 条．
5．(训练题18)设
是不全为零的实数，且满足
≤
，则
的最小值是 
．
6．(训练题18)一张正方形的纸被一条直线分成两部分，其中一部分再被一条直线分成两部分，再把三分之一被一条直线分成两部分，如此下去，最后得到了19个96边形和其他一些多边形．则至少要切割 1766 次．
第二试（总分120分）
一、(训练题18)（25分）在三棱锥
中，
，
试证：二面角
的度数大于
二、(训练题18)（25分）设
＞0,
…,
≥2，求证：
…
＜
三、(训练题18)（35分）给定
个（≥5）互不相等的实数
＜
＜…＜
，所有的
个和
（1≤
,
≤,
）中互不相同的数恰好有
个的充分必要条件是
成等差数列．
四、(训练题18)（35分）对给定的自然数
与，＜，任意一个由个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被
整除．