全国高中数学联赛第一试
一、选择题（每小题6分,满分36分）
1．
删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2． 设a, bÎR, ab≠0，那么，直线
ax-y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是
(A)
(B)
(C) (D)
3．
过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于
(A)
(B)
(C)
(D)8
4．
若xÎ[-
,-
]，则y= tan(x+
)-tan(x+
)+cos(x+)的最大值是
(A)
(B)
(C)
(D)
5．
已知x,y都在区间(-2,2)内，且xy＝-1，则函数u=
+
的最小值是
(A)
(B)
(C)
(D)
6．
在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题(每小题9分,满分54分)
7． 不等式x3-2x2-4x+3＜0的解集是__________.
8．
设F1,F2是椭圆
的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:PF2=2:1，则△PF1F2的面积等于__________.
9．
已知A={xx2-4x+3＜0,xÎR}, B={x
≤0, x2-2(a+7)x+5≤0,xÎR}．若AÍB, 则实数a的取值范围是____________.
10．
已知a,b,c,d均为正整数，且logab=
, logcd=
，若a-c=9, 则b-d=________.
11． 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.
12．
设Mn={(十进制)n位纯小数0.
ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则
=_______.
三、解答题(每小题20分，满分60分)
1.
已知
,证
2.
设A、B、C分别是复数
,
,
对应的不共线三点。
证：曲线
与
中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。
3.
一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点
刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。
第二试
1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使
。求证：
2、设三角形的三边长分别是整数
且
,已知
，其中
，求这种三角形周长的最小值。
3、由n个点和这些点之间的
条连线段组成一个空间图形，其中
，
，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形）。
全国高中数学联赛（答案）
13题解答：
证明三：
证明四：
