全国高中数学联赛模拟试题(三)

全国高中数学联赛模拟试题(三)

第一试

一、选择题(共36分)

1.　　 化简cos的值为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　)
A.－1　　　　　　　B.1　　　　　　　　 C.－　　　　　　　 D.

2.　　 S_n和T_n分别是等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和，且对任意的自然数n都满足，那么＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.　　　　　　　　B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

3.　　 直线xcosθ＋y＋m＝0(式中θ是△ABC的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是(　 )
A.(－arctan)　　　　　　　　　　　B.[0，，π)
C.[0，]　　　　　　　　　　　　　　　D.[0，]∪[π－arctan，π]

4.　　 设实数m，n，x，y满足m²＋n²＝a，x²＋y²＝b，其中a，b为正常数且a≠b，那么mx＋ny的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　)
A.　　　　　　 B.　　　　　　　C.　　　　　　　D.

5.　　 如图，平面α中有△ABC和△A₁B₁C₁分别在直线m的两侧，它们与m无公共点，并且关于m成轴对称，现将α沿m折成一个直二面角，则A，B，C，A₁，B₁，C₁六个点可以确定的平面个数为　　　　　　　　　　 (　　　)
A.14　　　　 B.11　　　　　C.17　　　　 D.20

6.　　 以凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n边形必能被这n个圆面所覆盖，则n的最大值为(　　　)
A.3　　　　　B.4　　　　　 C.5　　　　 D.6

二、填空题(共54分)

7.　　 已知0＜x＜，log_sinxcosx与log_cosx的首数均为零，尾数和为1，则x＝_________.

8.　　 设2000＝，其中a₁，a₂，……，a_n是两两不等的非负整数，则a₁＋a₂＋…＋a_n＝___________.

9.　　 已知不等式a≤x²－3x＋4≤6的解集为{xa≤x≤b}，其中0＜a＜b，则b＝___________.

10.　已知f(x)＝x²＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.

11.　正四棱台ABCD－A₁B₁C₁D₁的高为2，AB＝8，A₁B₁＝4，则异面直线A₁B与B₁C的距离为____.

12.　方程(x²－x－1)^x＋2＝1的解集为_________________.

三、解答题(共计60分)

13.　(20分)设f(x)＝(1＋x＋x²)ⁿ＝c₀＋c₁x＋c₂x²＋……＋c_2nx²ⁿ，则c₀＋c₃＋c₆＋……＝c₁＋c₄＋c₇＋……＝c₂＋c₅＋c₈＋……＝3^n－1.

14.　(20分)已知满足不等式lg(20－5x²)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.

15.　(20分)设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求f(2000).

第二试

一、(50分)如图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且∠FDE＝∠A，∠DEF＝∠B，又设△AFE，△BDF和△DEF均为锐角三角形，他们的垂心分别为H₁，H₂，H₃.求证：
(1)∠H₂DH₃＝∠FH₁E；
(2)△H₁H₂H₃≌△DEF.

二、(50分)设C₀，C₁，C₂，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：
(1)C₀是单位圆x²＋y²＝1；
(2)任取n∈Z且n≥0，圆C_n＋1位于上半平面y≥0内及C_n的上方，与C_n外切并且与双曲线x²－y²＝1相切于两点，C_n的半径记为r_n(n∈Z且n≥0)
(1)证明：r_n∈Z；
(2)求r_n.

三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.

全国高中数学联赛模拟试题(三)

参考答案

第一试

一、选择题

1.　　 C
cos＝
令z＝cos，于是z⁷＝1
则上式＝(z＋z²＋z³＋z⁴＋z⁵＋z⁶)＝……＝－

2.　　 A

3.　　 D
θ∈[，π)，cosθ∈(－1，]，则斜率k∈[－，1)

4.　　 B
由柯西不等式ab＝(m²＋n²)(x²＋y²)≥(mx＋ny)²，当mx＝ny时取等号，
所以mx＋ny≤

5.　　 B
三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，
共确定平面个数为＋3＝11个

6.　　 B
注意到：当且仅当∠C≥90°时，△ABC能被以AB为直径的圆覆盖.从而易证n≤4，当n＝4时，正方形满足条件.

二、填空题

7.arcsin；
log_sinxcosx＋log_cosx＝1 Þ log_sinxcosx＝
∴ sinx＝cos²x　　 ∴ sin²＋sinx－1＝0
∴ sinx＝(负值舍去)

8.44；
2000＝2¹⁰＋2⁹＋2⁸＋2⁷＋2⁶＋2⁴

9.4；
分情况讨论得：a＝，b＝4

10.110；
f(－1)＝1＋lgb－(2＋lga)＝－2
∴ lga＝lgb＋1，而(lga)²－4lgb≤0
∴ (lgb－1)²≤0　　 ∴ lgb＝1
∴ b＝10，a＝100

11.；
过B₁作A₁B的平行线交AB于E，转化为求B点到平面B₁CE的距离.

12.{－2，－1，0，2}
若x²－x－1＝1，则x＝2，－1
若x²－x－1＝－1且x＋2为偶数，得x＝0
若x＋2＝0且x²－x－1≠0得x＝－2

三、

13．令ω＝－i，则有
f⑴＝c₀＋c₁＋c₂＋c₄＋c₅＋……＋c_2n＝3ⁿ　　　　　　　　 …………………①
f(ω)＝c₀＋ωc₁＋ω²c₂＋c₃＋ωc₄＋ω²c₅＋……＋ω²ⁿc_2n＝0…………………②
f(ω²)＝c₀＋ω²c₁＋ωc₂＋c₃＋ω²c₄＋ωc₅＋……＋ω⁴ⁿc_2n＝0…………………③
①＋②＋③得3(c₀＋c₃＋c₆＋……)＝3ⁿ，
∴ c₀＋c₃＋c₆＋……＝3^n－1.
②－①得c₁＋c₄＋c₇＋……＝c₂＋c₅＋c₈＋……
于是c₁＋c₄＋c₇＋……＝c₂＋c₅＋c₈＋……＝c₀＋c₃＋c₆＋……＝3ⁿ，

14．∵ 20－5x²＞0，∴ x≤1，∴ x＝－1或0或1
x＝－1时，lg15＞lg(a＋1)＋1，∴ －1＜a＜
x＝0时，lg20＞lga＋1　　　　 ∴ 0＜a＜2
x＝1时，lg15＞lg(a－1)＋l　　∴ 0＜a＜
又因为满足条件的整数x只有一个，
∴ a的取值范围是(－1，0]∪[，1]∪[2，)

15．令a＝1，则f(f(b))＝b，∴ f(f(x))＝x
∴ f(f(f²(x)))＝f²(x)
∴ f(f(f²(a)))＝f²(a)
再令a＝f(b)，则f(f²(b)＝bf(b)
∴ f(f(f²(b)))＝f(bf(b))＝b².
∴ f(f(f²(a)))＝a².
∴ f²(a)＝a²，　　 ∴ f(a)＝a
∴ f(2000)＝2000

第二试

一、⑴∵ H₁为△AEF的垂心，∴ ∠EH₁F＝180°－∠A＝∠B＋∠C
∠H₂DH₃＝180°－∠H₂DB－∠H₃DC＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B＋∠C
∴ ∠EH₁F＝∠H₂DH₃
⑵连结FH₂，EH₃，则FH₂⊥BD，EH₃⊥BC
∴ FH₂∥EH₃　由⑴中所证∠EH₁F＋∠EOF＝180° Þ　E，D，F，H₁四点共圆.
同理，E，D，H₁，H₂四点共圆，H₁，D，F，H₃四点共圆，E，D，F，H₁，H₂，H₃六点共圆.
二圆内接四边形EH₂H₃F中，EH₂∥FH₃，
∴ EF＝H₂H₃，同理，DE＝H₁H₃，DF＝H₁H₂，
∴ △H₁H₂H₃≌△DEF.

二、⑴由对称性可知r_n的圆心在y轴上，设r_n的方程为
x²＋(y－s_n)²＝r_n²，其中s_n＝r₀＋2(r₁＋r₂＋……＋r_n－1)＋r_n.
将x²＝y²＋1代入其中得  y²＋1＋y²＋s_n²－2ys_n－r_n²＝0
△＝4s_n²8S_n²＋8r_n²－8＝0 Þ 2r_n²＝S_n²＋2
从而易得r_n＝6r_n－1－r_n－2，
∵ r₀＝1，r₁＝3，∴ 对任意n∈N，有r_n∈N
(2)由特征根方程可得
r_n＝A(3＋2)ⁿ＋B(3－2)ⁿ，
将r₀＝1，r₁＝3代入其中，得
r_n＝[(3＋2)ⁿ＋(3－2)ⁿ]

三、设“完全数”等于3n，其中n不是3的倍数，于是3n的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d和3d的“数对”，其中d不可被3整除，从而3n的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时n，n，n和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n＋1＞3n，从而3n不可能是“完全数”，得到矛盾.