高三全国名校数学单元测试示范卷（七）
排列组合、二项式定理
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）10名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可选择“去”与“不去，”，则第二天可能出现的不同情况共有的种数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在
的展开式中，
的系数是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）现有6名女学生，分配甲、乙两个宿舍，每个宿舍最多限住4人，则不同的分配方法有
（A）40种 （B）50种 （C）60种 （D）70种
（4）已知
的展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则该二项式开展式的中间项为
（A）
（B）
（C）
或
（D）或
（5）一杂技团有8名表演魔术或口技的演员，其中6人会演口技，5人会表演魔术，今从这8名演员中选出2人，1 人表演口技，1人表演魔术，则共有选法种数是
（A）27种 （B）30种 （C）28种 （D）56种
（6）将某城市分为四个区（如图），需要绘制一幅城市分区地图，现有5种不同颜色，图①②③④每区只涂一色，且相邻两区必须涂不同的颜色（不相邻两区所涂颜色不限），则不同的涂色方式有
（A）240种 （B）180种 （C）120种 （D）60种
（7）若
展开式中
项的系数为
，则
的值是
（A）1 （B）
（C）
（D）2
（8）有“386”、“486”、“586”型电脑各一台，甲、乙、丙、丁四名操作人员的技术等次各不相同，甲、乙会操作三种型号的电脑，而丙不能操作“386”，而丁只会操作“386”，今从四名操作人员中选出3人分别去操作以上电脑，则不同的选派方法有
（A）6种 （B）8种 （C）10种 （D）12种
（9）若
，且
，则
等于
（A）1 （B）16 （C）27 （D）81
（10）教室里六个座位连成一排，安排三名学生就座，每一名学生坐一个座位，恰有两个空位相邻的排法种数是
（A）96 （B）72 （C）48 （D）36
（11）某市学校“减负”后，增加了学生的社会实践活动。该市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观两天，其余的每所学校只参观一天，则该植物园在这30天中不同的安排方法的种数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）二项式
（
）中系数最大的项是
（A）第4项 （B）第5项 （C）第4项和第5项 （D）无法确定
二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）已知
，且
，而
按
的降幂排列的开展式中，第二项不大于第三项，则的取值范围是 。
（14）有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区。若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为
，则下列等式：①
；②
；③
；④
。其中能成为的算式有
（15）在排成
的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个顶点在圆风的三角形共有 个。
（16）关于二项式
，有以下四个命题：①该二项开展式中非常数项的系数和是1；②该二项开展中系数最大的项是第1000项；③该二项开展式中第六项为
；④当
时，除以2000的余数是1999。其中正确命题的序号是 。（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6个小题共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题12分）
（1）学校开设七门课，每天可排六节课（每门课每天最多排一节），若星期三必须有体育课，但不能排在第一节和第五节，则星期三有多少种不同的排课法？
（2）学校开设七门课，若星期六只能排四节课，但第一节课和第四节课不能排体育课，则星期六共有多少种不同的排课法？
（18）（本小题12分）
在
（
，
）的展开式中，已知第
项与第
（
）的二项式系数相等。
（1）求
的值；（2）若该展开式的第的值与倒数第项的值的
相等，求的值。
（19）（本小题12分）
1994年夏季在美国举行了第15届世界杯足球赛，共有24支队参赛，他们先分成六个小组进行循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名及4支积分较高的第三名晋升16强），这16支队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还须决出第三名、第四名，问这次世界杯总共进行了几场比赛？
（20）（本小题12分）
已知
展开式中第6项为21，并且第2项、第3项与第4项系数成等差数列，试求的值。
（21）（本小题12分）
某工厂为了提高经济效益，充分挖掘生产潜力，现在要利用该厂所有闲置机器协作加工A、B、C、D、E五种产品。为了减轻机器负荷，延长机器的使用寿命，每台机器只允许加工任意两种产品，加工时，任意两种产品中只有一台机器是共用的，且要求加工每种产品所用的机器台数相等。请根据已知条件，求出该厂闲置机器的台数。
（22）（本小题14分）
设
（
）
（1）求证：
（2）设
（），求
的值。
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | B | D | A | A | D | C | D | B | A | C |
二、填空题
（13）
（14）②③ （15）312 （16）①④
三、答案题
（17）①共有
；②共有
（18）①
；②
（19）52
（20）
或
（21）10台
（22）①略；②
。