上学期高三期中测试数学试题
第I卷
参考公式： 球的表面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B） 其中R表示球的半径
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
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是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
|
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列集合恰有2个元素的集合是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
|
的图象大致是 （ ）
3． 已知随机变量
满足E=2，则E（2+3）= （ ）
A．4 B．8 C．7 D．5
4．已知 a =2 sin15°， b =4 cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．不等式
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数y=sin2x+2cosx（
）的最大值与最小值分别为 （ ）
A．最大值
，最小值为－
B．最大值为，最小值为－2
C．最大值为2，最小值为－ D．最大值为2，最小值为－2
7．已知
，且
，则 z 的取值范围是 （ ）
A．[0，2] B．[1，3] C．[0，3] D．[1，2]
8．当
的值为 （ ）
A．1 B．－1 C．i D．－i
9．
是定义在R上，以2为周期的偶函数，当
时，
的表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．对一切实数x，函数
恒为正值，则实数a的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．函数
上是增函数，则数p的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．下面四个判断中，正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
,
则
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，满分16分。
13．
.
14．函数
的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是
，则a等于
.（只需写出满足条件的一个向量）
15．与函数
的图象相切，切线斜率为1的切线方程是
.
16．有下列四个命题：
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若
有实根”；
④“若
”的逆否命题.
其中真命题为 .
三、解答答：本大题共6小题；共74分。解应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（满分12分）已知
的值.
18．（满分12分）一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是
.
（I）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；
（II）求这名学生在途中遇到红灯数的期望与方差.
19．（满分12分）已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为
120°
（I）求证：（a－b）⊥c；
（II）若ka+b+c>1（k∈R），求k的取值范围.
20．（满分12分）已知函数
是奇函数，正数数列{
}满足
（I）求{}的通项公式；
（II）若{}的前n项和为
.
21．（满分12分）某农产品去年各季度的市场价格如下表：
| 季 度 | 第一季度 | 第二季度 | 第三季度 | 第四季度 |
| 每吨售价 （单位：元） | 195.5 | 200.5 | 204.5 | 199.5 |
今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
（I）根据题中条件填空，m= （元/吨）；
（II）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（III）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
22．（满分14分）已知函数
在区间[0，1]单调递增，在区间
单调递减，
（I）求a的值；
（II）若点
的图象上，求证点A关于直线
的对称点B也
在函数的图象上；
（III）是否存在实数b，使得函数
的图象与函数的图象恰有3个交
点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.
参考答案
一、BACBCB BDDDAC
二、13．
14．
（
） 15．
16．①②③
三、
17．解：由条件，
…………………………………………2分
………………………………4分
…………………………………………6分
……………………………………………………8分
………………………12分
18．解：（I）
…………………………………………4分
（II）依题意~
……………………………………………………7分
……………………………………………………………9分
……………………………………………………12分
19．解：（I）
a、b、c之间的夹角均为120°，
…3分
（II）
…………………………………6分
……………………………………………8分
………………………………………………………………………10分
……………………………………………………………………12分
20．解：（I）
为偶函数，
………………………………………2分
为奇函数，
………………………………………………4分
…5分
……………………………………………………7分
的等比数列………………………………9分
………………………………………………………………………10分
（II）
…………………………………………………………12分
21．解：（I）200；………………………………………………………………………3分
（II）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为
万吨，收购总金额为
故
……………………………………………7分
（III）原计划税收为
（万元），
依题意得：
解得
………………………………………………………………………………11分
答：x的取值范围是
…………………………………………………………12分
22．解：（I）由函数
单调递增，在区间单调递减，
………………………………………………2分
……………………………………………………………4分
（II）点
……6分
|
∴A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上………………………9分
（III）函数的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程
个不等实根…………………………………10分
是其中一个根
有两个非零不等实根…………………………12分
………………………………………14分