高三第四次月考数学试题
第Ⅰ卷（选择题部分，共12小题，总分60分）
一、选择题：每小题只有一个选项正确，每小题5分。
1、与向量
平行的单位向量一定是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
2、已知
是
上的增函数，
是函数
图象上两点，那么不等式
的解集的补集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、条件
是两条直线 
和
平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、将曲线
，（
为常数 ）按向量
平移后，得到曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5、三个实数
成等比数列，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D． 
6、过点A（1，3）作直线
，若经过点（a，0）和（0，b）且a，b∈N*，则可作出的不同直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．多于3
7、已知向量
，
（O为原点，
），则向量
的长度的最大值是（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
8、已知实数p、q满足
，则p可取值的范围是（ ）
A．0＜p≤1 B．p≤1 C．0≤p≤1 D．p≥1
9、设O为△ABC的三个内角平分线的交点，当AB=AC=5，BC=6时，
（
），则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10、设
，且变量x，y满足条件
则t的最大值、最小值依次是（ ）
A．3，－3 B．5，－5 C．7，－7 D．9，－9
11、已知常数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D． 
12、已知关于x、y的方程组
至多有一解，则实数a，m满足的关系是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二、填空题：每小题4分，共16分
13、设a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边边长，则直线
与直线
的夹角大小是
。
14、不等式
的解集是
。
其中
15、已知函数
的定义域为R，值域为[－1，4]，则a2+b2=
。
16、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2004年到2007年间更新市内现有的全部出租车。若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2004年底更新现有总车辆数的x%，则整数x等于 （参考数据1.14=1.46，1.15=1.61）
三、解答题（共6个小题，总分74分）
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|
，在集合中定义一种运算，使得
，求证：如果
，那么
文科生作：已知不等式
（
为常数）对
恒成立，
解不等式：
18、（12分）在圆
上取一定点
和两个动点
，若两点运动时，恒有
，求
重心
的轨迹方程。
19、（12分）已知数列
的前
项和
，对任意正整数总有
（p为常数，且
，数列
中有
（
为常数）
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若
，求p的取值范围。
20、（12分）已知二次函数对任意，都有
成立，设向量
，
，当
时，求不等式
的解集。
21、（12分）在小河l同侧有两个村庄A、B，两村庄计划于河上共建一水电站发电供两村使用，已知A、B到河边垂直距离AA′、BB′分别为300m和700m，且两村A、B相距500m，（如图）问水电站建于A′B′上距A′多少m处，送电到A、B两村电线用料最省？
 |
22、（14分）已知二次函数
（1）对于x1， x2∈R，且
求证：方程
有两个不等的实根，且必有一个实根属于（x1，x2）；
|
在（x1，x2）内的根为m，且x1，
，x2成等差数列，设
是f（x）的对称轴方程，求证：x0＜m2.
高三第四次月考数学参考答案
一、选择题：1—5 B D B A D 6—10 B B A D C 11—12 D C
二、填空题：13、
14、（
）∪（0，+∞） 15、13
16、22
三、解答题
17（12分）理科题：证明：由已知
∵
∴－1＜a＜1 1－a2＞0，同理 1－b2＞0，
…………4分
∴
………10分
|
∴
即a b
…………12分
文科题：解：∵
＞0 对恒成立，
∴△=
…………4分
又
，原不等式化为
，
∴
∴
∴原不等式解集为
……………12分
18、（12分）解：连接OB、OC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°
设线段BC的中点为M（
），则
∴
…5分
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|
设
由平面几何知识知G分MA所成的比
，
∴
，∴
………………10分
代入①得所求轨迹方程为
………………12分
19、（12分）解：（1）
∵
∴
2分
当n≥2时，
∴
∴
公比为
的等比数列
∴
……6分
（2）由已知，得
消去q，得
又
∴p的取值范围是
∪
∪（2，+
）
………12分
20、（12分）解：设
二次项系数为m，∵对任意x，都有
∴的图象关于直线
对称 ………2分
（1）若
，则在[1，
）上为增函数
∵
…………4分
∴
∵ ∴ …………8分
（2）当
时，在上[1，）是减函数
同理可得
…………10分
综上：所求解集是当时为
当时为
…………12分
21、（12分）解：以l为x轴，A′为原点建立直角坐标系如图，设A关于x轴的对称点为A″，连A″B，设交x轴于点P．则P点为所求点，即
最小，（若P′为l上任一点，则
AP′+BP′=A″P′+BP′≥A″B=AP+PB …………5分
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由已知A（0，300），A″(0，－300)
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作AH⊥BB′于H，则BH=400，
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在Rt△ABH中，又AB=500
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∴AH=300，
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由两点式得A″B的方程为
，令y = 0得x=90，
即OP=90 …………11分
答：水电站应建在A′B′上距A′90m处，用料最省。 …………12分
22、解：
（1） 由
得
…………2分
由
，故此方程判别式
∴△＞0
∴方程有两个不等的实根 ……4分
令
是二次函数，由
=
…………6分
∵
∴
∴
的根必有一个属于（x1，x2）
…………8分
（2）由题设，得
即有
∵
成等差数列
∴
，即
∴
…………10分
故