高三年级质量检测(三)数学试题

高三年级质量检测(三) 数学试题

　说明：本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)两部分，共150分．用时120分钟．

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1、若函数y=2^x的定义域是={1，2，3}，则该函数的值域是　　　　　　　  (　　 )

　A.{2，4，6}　　 B.{2，4，8}　　C.{l，2，log₃2}　　D.{0，1，log₂3}

2、等比数列{an}中，T_n表示前n项的积，若T₅=l，则　　　　　　　　　　  (　　 )

　A.a_l=l　　　　  B.a₃=l　　　　 C.a₄=1　　　　　　  D.a₅=l

3、设a＋b<O，且b>0，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　A.b²>a²>ab　　　B.a²<b²<-ab　　 C．a²<-ab<b²　　　　D．a²>-ab>b²

4、为得到函数y=cosx的图象，可用来对函数y=cos (X—)作平移的向量是 (　　 )

　A.(，0)　　 B.(-,0)　　 C.(-，0)　　　　 D．(，0)

5、在边长为1的菱形ABCD中，ABC=60⁰，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1；则二面角B一AC—D的余弦值为　　　  (　　 )

　 A. 　　　　B. 　 

 C.　 　D.

6、一动圆圆心在抛物线X²=4y上，过点(0，1)且恒与定直线L相切，则直线L的方程为

 A．x=l　　　　 B．x=　 　　C. y=-1 　　　　　 D．y=-　　　　　 (　　 )

7、已知a、b、c是空间三条直线，是两个平面，则下列命题中不正确的是(　　 )

　A．若a//b，则b//，则a//，或a

　B．若a，b，//，a//b

　C．若a//b，//，则a与所成的角等于b与所成的角；

D．若ab，ac，b// c

8、不等式x+log₃^x  <　x　 ＋ log₃^x　 的解集为　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　A.(0，1)　　　 B．(1，+)　　 C．(0，+)　　　 D．(—，+)

9、5名同学去听同时进行的四个课外知识讲座，每位同学可自由选择听其中1个讲座，则不同的选法种数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　 )

　A．5⁴　　　　　  B．4⁵　　　　　  C．5×4×3×2　　　D．

10、椭圆上一点到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，点的坐标是

　A．(5,0)，(-5，0)　　　　　　　 B．(,)，(,-)

　C．(,)，(-,)　　　D．(0，3),(0，-3)　　　　　　　　  (　　 )

11、已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示　　　　　　　　　　　　　　　  (　　 )

则函数F(x)= f(x)·g(x)的图象可以是

12、定义运算a*b为：a*b=，例如，1*2=1，则1*2的取值范围是　　 (　　 )

A．(0，1)　　　 B．(-，1)　　　　 C．(0，1)　　　　D．[1，+]

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

13、函数f(x)= x²-tx+2在[1，2]上有反函数，则t的一切可取值的范围是　　　　 。

14、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是　　　　　　　　  。

15、已知x、y满足约束条件,则z=2x+y的最大值是　　　　  .

16、下列四个命题 : ① 函数f(x)=x+的值域是(-，-2)U[2，+]；

② 已知命题p与命题q，若p是q的充分不必要条件，则-p是-q的充分不必要条件；

③ 二项式(<a十b)⁶的展开式中系数最大的项为第3项；

④ 方程，x ＋ y =1的曲线围成的图形的面积是4.

其中正确命题的序号是　　　(把你认为正确的序号都填上)．

三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17、(本小题满分12分)同时抛掷15枚均匀的硬币一次

(1) 试求至多有1枚正面向上的概率；　(2) 试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.

18、(本小题满分12分)

已知：A、B是ABC的两个内角，，其中、为相互垂直的单位矢量。若 　=，试求tanA·tanB的值。

19、(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB=AC=4，BAC=90⁰,侧面ABB₁A₁ 为正方形ABB₁A₁的中心，E为BC的中点.（1）求证：平面DB₁平面BCC₁B₁；（2）求异面直线A₁B与B₁E所成的角.　　

20、(本小题满分12分) 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，贷款的利率为4.8％，又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益?　

21、(本小题满分12分)　已知函数f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+……+a_nxⁿ(nN^*),且y= f(x)的图象经过点（1，n²）,数列｛a_n｝(nN^*)为等差数列。（1）求数列｛a_n｝通项公式；（2）当n为奇数时，设g(x)=[ f(x)- f(-x)]，是否存在自然数m和M，使不等式m<g()<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由。

22、(本小题满分14分)已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）

（1）求点（x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有  AD=BD，试求m的取值范围。

高三年级质量检测3答案

一、选择题：5×12=60

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	B	D	C	A	C	D	A	B	D	A	C

二、4×4=16分

13、(-，-2]U[4，+） 14、甲　15、3　16、13

三解答题：共74分

17、（12分）

　解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P₁

则P₁= P₁₅（0）+ P₁₅（1）=+=　　　　  ……………（6分）

　（2）记正面向上为奇数枚的概率为P₂，则有

P₂= P₁₅（1）+ P₁₅（3）+…+ P₁₅（15）=++…+

　=+…+)–　　　　 ………………………（10分）

又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P₃

 P₃=1–=　　　　  相等　　　　　　　　  ………………………（12分）

18、（12分）解：²=()²=()²

=

=　=

cos(A-B)=cos(A+B)　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………(8分)

4 cosA·cosB+4sinA·sinB=5cosA·cosB–5sinA·sinB　 9sinA·sinB= cosA·cosB

又A、B是ABC的内角， cosA·cosB　　tanA·tanB=………………（12分）

19、（12分）（1）证明：延长B₁D至A，连接AE，

　 三棱柱为直三棱柱，平面BCC₁B₁平面ABC　又ABC中AB=AC，E为AB中点

　AEBC　　AE平面BCC₁B₁

　又AE平面B₁DE　　　　　 平面B₁DE平面BCC₁B₁………………（6分）

（2）延长AB至F，使BF=4，连接B₁F，则BF‖A₁B₁

四边形BF B₁A₁为平行四边形　　　　　 FB₁‖A₁B

直线FB₁与B₁F所成的不大于直角的角即为异面直线A₁B与B₁E所成的角

连接EF　　BC=4　　　　  BE=2

BEF中，EF²=16+8+2×4×2×=16+8+16=40

cosEB₁F=　　　　  ……………（11分）

异面直线A₁B与B₁E所成的角为arccos　　　　　　　　　　 ………………（12分）

20、（12分）解：（1）由题意，存款量g(x)=Kx²,银行应支付的利息

h(x)=x·g(x)= Kx³　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　………………… （4分）

（2）设银行可获收益为y,则

y=0.048·Kx²–Kx³　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………（6分）

y’=K·0.096x–3 Kx²　　　　 令y’ =0　　　 即K×0.096x–3 Kx²=0

解得x=0　　　　 或x=0.032　　　　　　　　　　　  …………………（9分）

又当x(0,0.032)时，y’>0, x(0.032,0.048)时, y’<0

 y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048) 单调递减

故当x=0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值

答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益　　　　　 ………………（12分）

21、（12分）

解：（1）据题意：f(1)=n²　　即a₀+a₁+a₂+a₃+……+a_n= n²

　令n=1　  则a₀+a₁=1，a₁=1–a₀

　令n=2　  则a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4–（a₀+a₁）=4–1=3

令n=3　  则a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9–（a₀+a₁+a₂）=9–4=5

｛a_n｝为等差数列　　 d= a₃–a₂=5–3=2

a₁=3–2=1　　　　a₀=0　　　 a_n=1+(n–1)·2=2n–1　　　………………（6分）

(2)由（1）f(x)= a₁x+a₂x²+a₃x³+……+a_nxⁿ

n为奇数时，f(–x)=–a₁x¹+a₂x²+a₃x³+……+a_n–1x^n–1+a_nxⁿ  ………………（7分）

g(x)=[ f(x)–f(–x)]= a₁x¹+a₃x³+a₅x⁵+……+a_n–2x^n–2+a_nxⁿ

g（）=1·（）³+5·（）⁵+……+（2n–5）（）^n--2+(2n-1) （）ⁿ…（8分）

g=1·³+5·⁵+9·⁷+……+（2n–5）（）ⁿ+(2n-1) （）ⁿ⁺²

相减得g=1·+4[³+⁵+……+ⁿ]- (2n-1) （）ⁿ⁺²…（9分）

 g=–·（）ⁿ-（）ⁿ  …（10分）

令=n（）ⁿ  -=（）ⁿ·0，nN^*

 ,　随n增大而减小

又·ⁿ随n增大而减小

 g为n的增函数，当n=1时，g=

而–·（）ⁿ-（）ⁿ<　　　　  g<

使m< g<M恒成立的自然数m的最大值为0，M最小值为2

M–m的最小值为2

注；用其他的方法，求出m的最大值或M最小值之一，可得3分

22（12分）

解：（1）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y)

–=（x, 0）-(1,y)= (x-,– y)

(+)(-)　　　　　　　 (+)·(-)=0

(x+)( x-)+y·(-)=0　　　　 得- y²=1

P点的轨迹方程为- y²=1　　　　　　　  ………………（7分）

（2）考虑方程组消去y，得（1–3k²）x²-6kmx-3m²-3=0(*)

显然1-3k²0　　　=(6km)²-4(1-3k²)( -3m²-3)=12(m²+1-3k²)>0

　　　　　　　　　　　　　　 …………………………（9分）

设x₁,x₂为方程*的两根，则x₁+x₂=

x₀=　　　 y₀=kx₀+m=

故AB中点M的坐标为（，）

线段AB的垂直平分线方程为y-=（-）（x-）

将D（0，–1）坐标代入，化简得：4=3k²-1　 ………………………(11分)

故m、k满足，x消去k²得：m²-4m>0

解得：m<0或m>4　　　　　　　　　　　　　  ……………………（13）

又4m=3k²-1>-1　　 m>

故m(-,0)(4,+)　　　　　　　　　　　　  ……………………（14）